Considere a função f(x)=e^-x^2-cos (x), com raiz xi in(1,2). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão varepsilon1=varepsilon2=10^-4, usando: Método das Secantes com chutes iniciais x0=1, x1=2.

Passo 1

Resumo do enunciado:
– Temos a função
f(x)=e^-x^2-cos(x)
e sabemos que ela tem uma raiz no intervalo .
– Matéria: métodos numéricos para encontrar raízes de funções – em particular, o Método das Secantes.
– O que vamos precisar:
  1. A fórmula de iteração do método das secantes;
  2. Calcular para vários ;
  3. Critério de parada usando

    e
    ,
    com .

Passo 2

Teoria do Método das Secantes:
– Em vez de usar a derivada (como em Newton), a gente aproxima a derivada pela inclinação da reta que passa por xn+1 = xn ;-; f(xn), xn - xn-1f(xn)-f(xn-1), e .
– A fórmula de iteração é
[
x_{n+1}

x_n ;-;
f(x_n),
\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})},.
]
– A cada passo a gente:
  1. calcula e ;
  2. aplica essa fórmula para achar ;
  3. verifica se e .

Passo 3

Cálculos iniciais:
  1. f(x0)=f(1)=e^-1-cos(1)approx0,3679-0,5403=-0,1724, , f(x1)=f(2)=e^-4-cos(2)approx0,0183-(-0,4161)=0,4344 .
x2 =2 ;-;0,4344, 2-10,4344-(-0,1724) approx1,2840,
f(x2)approx e^-1,2840^2-cos(1,2840)approx-0,0916
  1. Aplicando a fórmula:
Verificamos , continua.

Passo 4

Iteração 2 → 3:
x3 =1,2840 ;-;(-0,0916), 1,2840-2-0,0916-0,4344 approx1,4087,
f(x3)approx-0,0217,
.

Passo 5

Iterações 3 → 5:
– Para x4 =1,4087 ;-;(-0,0217), 1,4087-1,2840-0,0217+0,0916 approx1,4474, f(x4)approx0,0030 :
x5 =1,4474 ;-;0,0030, 1,4474-1,40870,0030+0,0217 approx1,4427, f(x5)approx-0,0024
– Para :
.

Passo 6

Continuando até satisfazer a tolerância:
n=5 → n=6:
x6approx1,4448, f(x6)approx-0,0012, |x6-x5|approx0,0021
n=6 → n=7:
x7approx1,4458, f(x7)approx-0,0005, |x7-x6|approx0,0010
n=7 → n=8:
x8approx1,4462, f(x8)approx0,0001, |x8-x7|approx0,0004
n=8 → n=9:
x9approx1,4461, f(x9)approx-0,00002,|x9-x8|approx0,0001
n=9 → n=10:
x10approx1,4462, f(x10)approx0,00001,|x10-x9|approx0,00003<10^-4
Agora e , paramos.

Resposta

A aproximação da raiz boxedxiapprox1,4462 com precisão pelo Método das Secantes é

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