Suponha que f(x) é uma função real contínua em [a, b] com f(a) f(b)<0. Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
O método da posição falsa, diferentemente do método da bissecção, irá produzir uma sequência xk de valores que pode não convergir para a raiz.

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa. O enunciado diz que temos uma função contínua f em [a,b] com f(a)·f(b)<0, ou seja, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. A questão pergunta se é verdadeiro ou falso que “o método da posição falsa pode não convergir para a raiz” (ao contrário da bissecção, que sempre converge). O conteúdo é Métodos Numéricos de aproximação de raízes, mais especificamente a Regula Falsi (posição falsa). Para responder, vamos precisar:
  • Entender como funciona a posição falsa (a fórmula e o porquê do bracket sempre segurar a raiz).
  • Mostrar que a sequência de aproximações gerada por esse método sempre converge.

Passo 2

Primeiro, um rápido review da posição falsa:
Dado um intervalo [a_k, b_k] tal que f(a_k)·f(b_k)<0, a aproximação x_k+1 é o ponto onde a reta que passa por (a_k, f(a_k)) e (b_k, f(b_k)) corta o eixo x. Em fórmula:
xk+1 = ak,f(bk) - bk,f(ak)f(bk) - f(ak)
Depois de calcular x_{k+1}, você vê o sinal de f(x_{k+1}):
  • Se f(a_k)·f(x_{k+1})<0, a raiz continua em [a_k, x_{k+1}], então você define b_{k+1}=x_{k+1} e a_{k+1}=a_k.
  • Se f(x_{k+1})·f(b_k)<0, a raiz está em [x_{k+1}, b_k], daí a_{k+1}=x_{k+1} e b_{k+1}=b_k.
Isso garante sempre um novo bracket [a_{k+1}, b_{k+1}] com f(a_{k+1})·f(b_{k+1})<0.

Passo 3

Por que essa sequência {x_k} sempre converge?
  1. Em cada iteração, x_{k+1} fica dentro de [a_k, b_k].
  2. O bracket não alarga, só encurta (ou mantém uma das pontas fixa).
  3. A sequência {x_k} fica encaixotada num intervalo que vai “apertando” ou pelo menos não aumenta.
  4. Pelo Teorema do Convergência Monótona (ou simplesmente pelo fato de que toda sequência limitada e monotônica converge), checamos que {x_k} é monotônica (por construção, se um lado fica preso, os x’s vão se aproximando monotonamente da raiz) e está contida num intervalo compacto.
  5. Como f é contínua, o limite dessa sequência só pode ser um ponto onde f(x)=0.
Logo, sempre acontece a convergência para alguma raiz em [a,b].

Passo 4

No fundo, o “problema” clássico da posição falsa não é falta de convergência, mas sim convergência muito lenta quando um dos extremos não se move quase nada. Mesmo assim, ela converge. Isso já mostra que a afirmação do enunciado (“pode não convergir”) está errada.

Resposta

FALSA. O método da posição falsa mantém o bracket com f(a_k)·f(b_k)<0 a cada iteração, gera uma sequência de aproximações que é limitada, monotônica e, portanto, converge a uma raiz de f em [a,b].

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