Considere a função f(x)=e^-x^2-cos (x), com raiz xi in(1,2). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão varepsilon1=varepsilon2=10^-4, usando: Método da bissecção com intervalo inicial [1,2].

Passo 1

Beleza, a questão pede pra encontrar a raiz da função
f(x) = e^-x^2 ;-;cos(x)
no intervalo usando o método da bissecção, com tolerâncias
.
O conteúdo é Métodos Numéricos (bissecção) e vamos precisar de:
  1. Teorema do Valor Intermediário (f contínua e sinais opostos em e ).
  2. Regra da bissecção (cálculo de ponto médio e escolha do subintervalo).
  3. Critério de parada em (largura de intervalo < ) e em ( ).

Passo 2

Primeiro, definimos o intervalo inicial
a = 1, b = 2
Calculamos
f(1) = e^-1 - cos(1) approx 0.3679 - 0.5403 = -0.1724,
f(2) = e^-4 - cos(2) approx 0.0183 - (-0.4161) = 0.4344
Como , o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz em .

Passo 3

No método da bissecção, a cada iteração:
  1. calculamos o ponto médio
    ,
  2. avaliamos ,
  3. substituímos por se , ou por se .
Vamos ver algumas iterações iniciais (arredondando a 6 casas decimais):
i=1: ,
→ sinal positivo, troca-se b:
.
i=2: ,
→ negativo →
.
i=3: ,
→ negativo →
.
i=4: ,
→ negativo →
.
i=5: ,
→ positivo →
.
A cada passo o intervalo reduz pela metade, “afinando” onde a raiz está.

Passo 4

Para garantir a precisão b-a2^N < varepsilon1 = 10^-4 ;Longrightarrow; 2^N > 110^-4 = 10^4 ;Longrightarrow; N > log2(10^4)approx13,29, no , precisamos
ou seja, iterações.
Além disso, checamos também .

Passo 5

Depois de 14 iterações completas, o intervalo final é aproximadamente
[a14,,b14] = [1.4473876953,;1.4475097656],
com largura c14 = a14+b142 approx 1.4474487305 .
O ponto médio
satisfaz também .

Resposta

A aproximação da raiz boxedxi approx 1.44745 pelo método da bissecção, com , é

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