Considere a função
Deseja-se encontrar uma aproximação para uma raiz de
, utilizando o método de Newton-Raphson. Considere o chute inicial
e a tolerância
0,005.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados.
- Pede: encontrar uma aproximação para uma raiz de
usando o método de Newton-Raphson, com chute inicial e tolerância . - Dados fornecidos:
- A função:
. - O chute inicial:
. - A tolerância:
.
- A função:
Passo 2
O método de Newton-Raphson — fórmula, ideias e critério de parada (explicação didática).
- Ideia intuitiva: em torno de um ponto
a função é aproximada por sua reta tangente, e a interseção dessa reta com o eixo costuma estar mais perto da raiz que . Repetindo esse processo chegamos à raiz rapidamente (quando as condições são boas). - Fórmula do método: a iteração de Newton é
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada de em . - Critério de parada escolhido: vou usar o critério de diferença entre iterações
porque garante que as aproximações sucessivas já estão suficientemente próximas (é um critério comum e fácil de aplicar em prova). Poderia usar também
, mas fico com a primeira.
Passo 3
Calcular a derivada e preparar as expressões que usarei em cada iteração.
- Derivada de
:
- Assim, em cada iteração preciso calcular
e , e depois aplicar
Passo 4
Primeira iteração: de
para
.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Aplique a fórmula de Newton:
- Verificação do critério:
. Como , ainda não satisfeito — continuo.
Passo 5
Segunda iteração: de
para
.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Aplique a fórmula:
Agora faço a divisão com cuidado (mostrando como fazer numa prova sem calculadora aproximando com precisão razoável):
-
(multiplicando e ajustando; o importante é manter a precisão suficiente). - Portanto
- Verificação do critério:
. Como , ainda não satisfeito — prossigo.
Passo 6
Terceira iteração: de
para
.
- Calcule
avaliando o polinômio (faço as contas de modo a poder reproduzir num teste): - Primeiro
(obtido calculando com expansão ). - Depois
. - Logo
(O valor é pequeno, o que indica que já estamos bem perto da raiz.) - Primeiro
- Calcule
:
- Aplique a fórmula:
- Dividindo:
-
.
-
- Portanto
Passo 7
Verificação final do critério e conclusão do processo.
- Calcule a diferença entre as últimas iterações:
- Como
, o critério de parada está satisfeito. Assim, podemos aceitar como aproximação da raiz dentro da tolerância solicitada.
Passo 8
Interpretação do resultado e dicas rápidas para prova.
- Resultado prático: a raiz aproximada obtida é
(arredondando). - Dica de prova: em exercícios de Newton-Raphson mostre claramente cada
, e o cálculo de . Use o critério de parada indicado e justifique qual critério adotou caso o enunciado não especifique. Se precisar economizar tempo num teste, basta calcular até que e apresentar a última .