Considere a função
f(x)=x^{3}-2 x-5
Deseja-se encontrar uma aproximação para uma raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x}), utilizando o método de Newton-Raphson. Considere o chute inicial x_{0}=2 e a tolerância \varepsilon= 0,005.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados.
  • Pede: encontrar uma aproximação para uma raiz de f(x) usando o método de Newton-Raphson, com chute inicial x_{0}=2 e tolerância \varepsilon=0,005.
  • Dados fornecidos:
    • A função: f(x)=x^{3}-2x-5.
    • O chute inicial: x_{0}=2.
    • A tolerância: \varepsilon=0,005.

Passo 2

O método de Newton-Raphson — fórmula, ideias e critério de parada (explicação didática).
  • Ideia intuitiva: em torno de um ponto x_{n} a função f é aproximada por sua reta tangente, e a interseção dessa reta com o eixo x costuma estar mais perto da raiz que x_{n}. Repetindo esse processo chegamos à raiz rapidamente (quando as condições são boas).
  • Fórmula do método: a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual;
  • f(x_{n}) é o valor da função nessa aproximação;
  • f'(x_{n}) é a derivada de f em x_{n}.
  • Critério de parada escolhido: vou usar o critério de diferença entre iterações
\lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<\varepsilon,
porque garante que as aproximações sucessivas já estão suficientemente próximas (é um critério comum e fácil de aplicar em prova). Poderia usar também \lvert f(x_{n})\rvert<\varepsilon, mas fico com a primeira.

Passo 3

Calcular a derivada e preparar as expressões que usarei em cada iteração.
  • Derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-2x-5\bigr)=3x^{2}-2.
  • Assim, em cada iteração preciso calcular f(x_{n})=x_{n}^{3}-2x_{n}-5 e f'(x_{n})=3x_{n}^{2}-2, e depois aplicar
x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{x_{n}^{3}-2x_{n}-5}{3x_{n}^{2}-2}.

Passo 4

Primeira iteração: de x_{0}=2 para x_{1}.
  • Calcule f(x_{0}):
f(2)=2^{3}-2\cdot 2-5=8-4-5=-1.
  • Calcule f'(x_{0}):
f'(2)=3\cdot 2^{2}-2=3\cdot 4-2=12-2=10.
  • Aplique a fórmula de Newton:
x_{1}=2-\frac{-1}{10}=2+\frac{1}{10}=2,1.
  • Verificação do critério: \lvert x_{1}-x_{0}\rvert=\lvert 2,1-2\rvert=0,1. Como 0,1>0,005, ainda não satisfeito — continuo.

Passo 5

Segunda iteração: de x_{1}=2,1 para x_{2}.
  • Calcule f(x_{1}):
f(2,1)=(2,1)^{3}-2(2,1)-5=9,261-4,2-5=0,061.
  • Calcule f'(x_{1}):
f'(2,1)=3(2,1)^{2}-2=3\cdot 4,41-2=13,23-2=11,23.
  • Aplique a fórmula:
x_{2}=2,1-\frac{0,061}{11,23}.
Agora faço a divisão com cuidado (mostrando como fazer numa prova sem calculadora aproximando com precisão razoável):
  • \dfrac{0,061}{11,23}\approx 0,005431878 (multiplicando e ajustando; o importante é manter a precisão suficiente).
  • Portanto
x_{2}\approx 2,1-0,005431878=2,094568122.
  • Verificação do critério: \lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx 0,005431878. Como 0,005431878>0,005, ainda não satisfeito — prossigo.

Passo 6

Terceira iteração: de x_{2}\approx 2,094568122 para x_{3}.
  • Calcule f(x_{2}) avaliando o polinômio (faço as contas de modo a poder reproduzir num teste):
    • Primeiro x_{2}^{2}\approx 4,387213488 (obtido calculando (2,094568122)^{2} com expansão 2^{2}+2\cdot2\cdot0,094568122+0,094568122^{2}).
    • Depois x_{2}^{3}=x_{2}\cdot x_{2}^{2}\approx 2,094568122\cdot 4,387213488\approx 9,189334.
    • Logo
    f(x_{2})\approx 9,189334-2\cdot 2,094568122-5=9,189334-4,189136244-5\approx 0,000197756.(O valor é pequeno, o que indica que já estamos bem perto da raiz.)
  • Calcule f'(x_{2}):
f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-2\approx 3\cdot 4,387213488-2\approx 13,161640464-2\approx 11,161640464.
  • Aplique a fórmula:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 2,094568122-\frac{0,000197756}{11,161640464}.
  • Dividindo:
    • \dfrac{0,000197756}{11,161640464}\approx 0,00001772.
  • Portanto
x_{3}\approx 2,094568122-0,00001772\approx 2,094550402.

Passo 7

Verificação final do critério e conclusão do processo.
  • Calcule a diferença entre as últimas iterações:
\lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx 0,00001772.
  • Como 0,00001772<0,005, o critério de parada está satisfeito. Assim, podemos aceitar x_{3} como aproximação da raiz dentro da tolerância solicitada.

Passo 8

Interpretação do resultado e dicas rápidas para prova.
  • Resultado prático: a raiz aproximada obtida é x\approx 2,09455 (arredondando).
  • Dica de prova: em exercícios de Newton-Raphson mostre claramente cada f(x_{n}), f'(x_{n}) e o cálculo de x_{n+1}. Use o critério de parada indicado e justifique qual critério adotou caso o enunciado não especifique. Se precisar economizar tempo num teste, basta calcular até que \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<\varepsilon e apresentar a última x_{n+1}.

Resposta

x\approx 2,094550402

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