Considere a função
dada por
e aproximação inicial
no método do Ponto Fixo. Marque a alternativa que fornece a função de iteração e a respectiva aproximação
corretos:
a)
b)
c)
㑥
e) Não sei
a)
b)
c)
e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá: a função
e a aproximação inicial
para aplicar o método do Ponto Fixo. Pede para marcar a alternativa que fornece a função de iteração
correta (isto é, tal que as raízes de
são pontos fixos de
) e a respectiva aproximação
obtida a partir de
. As alternativas fornecem candidatos a
com valores de
.
Informações relevantes:
-
. -
. - Precisamos verificar qual alternativa apresenta uma
equivalente à forma para a equação e calcular .
Passo 2
Lembrete didático (rápido e direto): no método do Ponto Fixo queremos uma função
tal que as soluções de
coincidam com as soluções de
Isto significa que, ao transformar
para
, a equação resultante deve ser algebraicamente equivalente a
. Para cada alternativa, verificamos se a igualdade
leva à mesma equação quadrática.
Passo 3
Verificação da alternativa (a):
.
Escrevendo obtemos
Escrevendo
Rearranjando:
As soluções seriam
e
. Essas não são as soluções de
(por exemplo, em
temos
). Logo (a) não é equivalente a
.
Passo 4
Verificação da alternativa (b):
.
Escrevendo e elevando ao quadrado (lembrando que
fornece a raiz não negativa),
Escrevendo
ou seja
Note que isso tem sinal contrário no termo linear em comparação com
. Portanto as soluções são diferentes e (b) não é equivalente. Observação didática: ao elevar ao quadrado podemos introduzir soluções espúrias, e a presença da raiz impõe
, mas aqui nem isso conserta a diferença de sinal — a equação obtida é simplesmente diferente.
Passo 5
Verificação da alternativa (c):
.
Escrevendo ,
Escrevendo
O discriminante dessa quadrática é
portanto não há raízes reais e a equação é claramente diferente de
. Logo (c) está errada.
Passo 6
Verificação da alternativa (d):
.
Escrevendo e elevando ao quadrado (novamente lembrando a raiz principal não negativa),
Escrevendo
que é exatamente
ou seja, a mesma equação
. Portanto essa
é uma rearranjo correto: as soluções de
coincidem com as raízes de
. Observação didática: a escolha da raiz positiva faz sentido porque estamos trabalhando com
e o método do Ponto Fixo normalmente usa a rama escolhida consistentemente; além disso, com
(positivo) usamos a raiz positiva.
Passo 7
Agora calculamos
para a alternativa (d):
Estimativa numérica:
e
, então
está entre
e
. Calculando com mais precisão (ou usando uma raiz quadrada conhecida),
Portanto a alternativa (d) fornece
e
, que coincide com o valor apresentado na alternativa.
Passo 8
Conclusão e incentivo: a única alternativa cuja equação
é algebraicamente equivalente a
é a (d). Fizemos as verificações algébricas e o cálculo numérico de
. Você já viu o raciocínio: transforme
numa forma
e verifique se é equivalente; depois aplique
em
para obter
. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!
Resposta
d)