Considere a função f(x) dada por f(x)=x^{2}-x-5 e aproximação inicial x_{0}=2,5 no método do Ponto Fixo. Marque a alternativa que fornece a função de iteração e a respectiva aproximação x_{1} corretos:
a) x^{2}-x, x_{1}=3,75
b) \sqrt{5-x}, x_{1}=1,5811
c) x^{2}+5, x_{1}=11,25
\sqrt{x+5}, x_{1}=2,7386
e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá: a função \;f(x)=x^{2}-x-5\; e a aproximação inicial \;x_{0}=2,5\; para aplicar o método do Ponto Fixo. Pede para marcar a alternativa que fornece a função de iteração \;g(x)\; correta (isto é, tal que as raízes de \;f(x)=0\; são pontos fixos de \;g) e a respectiva aproximação \;x_{1}\; obtida a partir de \;x_{0}. As alternativas fornecem candidatos a \;g(x)\; com valores de \;x_{1}.
Informações relevantes:
  • \;f(x)=x^{2}-x-5\;.
  • \;x_{0}=2,5\;.
  • Precisamos verificar qual alternativa apresenta uma \;g(x)\; equivalente à forma \;x=g(x)\; para a equação \;f(x)=0\; e calcular \;x_{1}=g(x_{0})\;.

Passo 2

Lembrete didático (rápido e direto): no método do Ponto Fixo queremos uma função \;g(x)\; tal que as soluções de \;f(x)=0\; coincidam com as soluções de
x = g(x).
Isto significa que, ao transformar \;f(x)=0\; para \;x=g(x)\;, a equação resultante deve ser algebraicamente equivalente a \;x^{2}-x-5=0. Para cada alternativa, verificamos se a igualdade x=g(x) leva à mesma equação quadrática.

Passo 3

Verificação da alternativa (a): \;g(x)=x^{2}-x.
Escrevendo x=g(x) obtemos
x = x^{2}-x.
Rearranjando:
x^{2}-2x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-2)=0.
As soluções seriam \;x=0\; e \;x=2\;. Essas não são as soluções de \;x^{2}-x-5=0 (por exemplo, em \;x=2\; temos \;f(2)=4-2-5=-3\neq0). Logo (a) não é equivalente a \;f(x)=0.

Passo 4

Verificação da alternativa (b): \;g(x)=\sqrt{5-x}.
Escrevendo x=g(x) e elevando ao quadrado (lembrando que \sqrt{\cdot} fornece a raiz não negativa),
x = \sqrt{5-x}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=5-x,
ou seja
x^{2}+x-5=0.
Note que isso tem sinal contrário no termo linear em comparação com \;x^{2}-x-5=0. Portanto as soluções são diferentes e (b) não é equivalente. Observação didática: ao elevar ao quadrado podemos introduzir soluções espúrias, e a presença da raiz impõe x\ge0, mas aqui nem isso conserta a diferença de sinal — a equação obtida é simplesmente diferente.

Passo 5

Verificação da alternativa (c): \;g(x)=x^{2}+5.
Escrevendo x=g(x),
x = x^{2}+5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x+5=0.
O discriminante dessa quadrática é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 1-20 = -19,
portanto não há raízes reais e a equação é claramente diferente de \;x^{2}-x-5=0. Logo (c) está errada.

Passo 6

Verificação da alternativa (d): \;g(x)=\sqrt{x+5}.
Escrevendo x=g(x) e elevando ao quadrado (novamente lembrando a raiz principal não negativa),
x = \sqrt{x+5}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=x+5,
que é exatamente
x^{2}-x-5=0,
ou seja, a mesma equação \;f(x)=0\;. Portanto essa \;g(x)\; é uma rearranjo correto: as soluções de \;x=g(x)\; coincidem com as raízes de \;f(x)=0. Observação didática: a escolha da raiz positiva faz sentido porque estamos trabalhando com \sqrt{\cdot} e o método do Ponto Fixo normalmente usa a rama escolhida consistentemente; além disso, com x_{0}=2,5 (positivo) usamos a raiz positiva.

Passo 7

Agora calculamos \;x_{1}=g(x_{0}) para a alternativa (d):
x_{1}=\sqrt{x_{0}+5}=\sqrt{2,5+5}=\sqrt{7,5}.
Estimativa numérica: \;2,7^{2}=7,29\; e \;2,74^{2}=7,5076, então \sqrt{7,5} está entre 2,73 e 2,74. Calculando com mais precisão (ou usando uma raiz quadrada conhecida),
\sqrt{7,5}\approx 2,7386.
Portanto a alternativa (d) fornece \;g(x)=\sqrt{x+5}\; e \;x_{1}\approx 2,7386, que coincide com o valor apresentado na alternativa.

Passo 8

Conclusão e incentivo: a única alternativa cuja equação x=g(x) é algebraicamente equivalente a \;f(x)=0 é a (d). Fizemos as verificações algébricas e o cálculo numérico de \;x_{1}. Você já viu o raciocínio: transforme \;f(x)=0\; numa forma \;x=g(x)\; e verifique se é equivalente; depois aplique g em x_{0} para obter x_{1}. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

d) \sqrt{x+5}, x_{1}=2,7386

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