Qual a 2^{a} iteração obtida pelo método de Newton para encontrar a raiz de f(x) =\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+5, com x_{0}=6,5 :
5,0222
b) 5,3214
c) 5,6205
d) 7,6785
e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a 2^{a} iteração obtida pelo método de Newton para encontrar uma raiz de f(x)=x^{2}-6x+5 com ponto inicial x_{0}=6{,}5.
Dados fornecidos:
\;f(x)=x^{2}-6x+5
\;x_{0}=6{,}5
Pergunta a responder: qual é o valor de x_{2} (a segunda iteração) obtido pelo método de Newton?

Passo 2

Apresento a regra do método de Newton (fórmula que usaremos). Para uma função f com derivada f', a sequência de Newton é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicando cada símbolo: x_{n} é a aproximação atual da raiz, x_{n+1} é a próxima aproximação, f(x_{n}) é o valor da função na aproximação atual, e f'(x_{n}) é o valor da derivada da função na aproximação atual. A ideia é usar a reta tangente em x_{n} e a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.

Passo 3

Calculemos a derivada da função f. Para f(x)=x^{2}-6x+5 temos
f'(x)=2x-6.
Aqui f'(x) representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva y=f(x) em x.

Passo 4

Vamos calcular f(x_{0}) com x_{0}=6{,}5. Primeiro calculemos os termos:
6{,}5^{2}=42{,}25,\qquad 6\cdot 6{,}5=39.
Portanto
f(6{,}5)=6{,}5^{2}-6\cdot 6{,}5+5=42{,}25-39+5=8{,}25.

Passo 5

Agora calculemos f'(x_{0}):
f'(6{,}5)=2\cdot 6{,}5-6=13-6=7.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Newton para obter x_{1}:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=6{,}5-\frac{8{,}25}{7}.
Para ficar exato, escrevemos em frações: 6{,}5=\dfrac{13}{2} e 8{,}25=\dfrac{33}{4}. Assim
x_{1}=\frac{13}{2}-\frac{33}{4}\cdot\frac{1}{7}=\frac{13}{2}-\frac{33}{28}=\frac{149}{28}\approx 5{,}321428571\ldots
(aproximação decimais mostrada para intuição; usaremos formas racionais para cálculos exatos).

Passo 7

Agora calculamos f(x_{1}) usando x_{1}=\dfrac{149}{28}. Calculemos termo a termo em frações com denominador comum 784=28^{2}:
x_{1}^{2}=\frac{149^{2}}{28^{2}}=\frac{22201}{784},
-6x_{1}=-6\cdot\frac{149}{28}=-\frac{894}{28}=-\frac{25032}{784},
5=\frac{3920}{784}.
Somando:
f\biggl(\frac{149}{28}\biggr)=\frac{22201-25032+3920}{784}=\frac{1089}{784}.
Portanto f(x_{1})=\dfrac{1089}{784}. Em decimal, isso vale aproximadamente 1{,}389, mas manteremos a forma racional.

Passo 8

Calculemos f'(x_{1}):
f'\biggl(\frac{149}{28}\biggr)=2\cdot\frac{149}{28}-6=\frac{298}{28}-\frac{168}{28}=\frac{130}{28}=\frac{65}{14}.

Passo 9

Aplicamos a fórmula de Newton para obter x_{2}:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\frac{149}{28}-\frac{\tfrac{1089}{784}}{\tfrac{65}{14}}.
Simplificamos a fração composta:
\frac{\tfrac{1089}{784}}{\tfrac{65}{14}}=\frac{1089}{784}\cdot\frac{14}{65}=\frac{1089}{56\cdot 65}=\frac{1089}{3640}.
Transformando \dfrac{149}{28} para denominador 3640 (pois 28\cdot 130=3640):
\frac{149}{28}=\frac{149\cdot 130}{3640}=\frac{19370}{3640}.
Então
x_{2}=\frac{19370}{3640}-\frac{1089}{3640}=\frac{18281}{3640}.
Em decimal:
x_{2}=\frac{18281}{3640}\approx 5{,}022252747\ldots

Passo 10

Arredondando ou truncando para quatro casas decimais conforme as opções apresentadas, obtemos aproximadamente 5{,}0222 (a opção mais próxima dentre as alternativas).

Resposta

a) 5{,}0222

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