Qual a
iteração obtida pelo método de Newton para encontrar a raiz de
, com
:
5,0222
b) 5,3214
c) 5,6205
d) 7,6785
e) Não sei
b) 5,3214
c) 5,6205
d) 7,6785
e) Não sei
Passo 1
O enunciado pede a
iteração obtida pelo método de Newton para encontrar uma raiz de
com ponto inicial
.
Dados fornecidos:
Pergunta a responder: qual é o valor de (a segunda iteração) obtido pelo método de Newton?
Dados fornecidos:
Pergunta a responder: qual é o valor de
Passo 2
Apresento a regra do método de Newton (fórmula que usaremos). Para uma função
com derivada
, a sequência de Newton é dada por
Explicando cada símbolo:
é a aproximação atual da raiz,
é a próxima aproximação,
é o valor da função na aproximação atual, e
é o valor da derivada da função na aproximação atual. A ideia é usar a reta tangente em
e a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação.
Passo 3
Calculemos a derivada da função
. Para
temos
Aqui
representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva
em
.
Passo 4
Vamos calcular
com
. Primeiro calculemos os termos:
Portanto
Passo 5
Agora calculemos
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de Newton para obter
:
Para ficar exato, escrevemos em frações:
e
. Assim
(aproximação decimais mostrada para intuição; usaremos formas racionais para cálculos exatos).
Passo 7
Agora calculamos
usando
. Calculemos termo a termo em frações com denominador comum
:
Somando:
Portanto
. Em decimal, isso vale aproximadamente
, mas manteremos a forma racional.
Passo 8
Calculemos
:
Passo 9
Aplicamos a fórmula de Newton para obter
:
Simplificamos a fração composta:
Transformando
para denominador
(pois
):
Então
Em decimal:
Passo 10
Arredondando ou truncando para quatro casas decimais conforme as opções apresentadas, obtemos aproximadamente
(a opção mais próxima dentre as alternativas).
Resposta
a)