Considere a função f(x, y) dada por
Encontre as derivadas parciais da função f(x, y)= x^3 y^3x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) em f.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos a função
f(x,y)= dfracx^3y^3x^4+y^4,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0)
E o que a gente precisa é encontrar as derivadas parciais de no ponto .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de derivada parcial via limite.
  • Como “congelar” uma variável e derivar em relação à outra.

Passo 2

Vamos achar partial fpartial x(0,0) =limhto 0f(0+h,0)-f(0,0)h .
Teoria rapidinha:
A derivada parcial em f(h,0) =h^3cdot 0^3h^4+0^4 =0h^4 =0 no ponto f(h,0)-f(0,0)h =0-0h =0 é
partial fpartial x(0,0)=0
A gente deixa fixo e varia só .
Então, para :
Logo o quociente é
Como isso vale pra todo , o limite quando também é .
Então

Passo 3

Agora partial fpartial y(0,0) =limkto 0f(0,k)-f(0,0)k .
Mesma ideia, mas “congelamos” f(0,k) =0^3cdot k^30^4+k^4 =0k^4 =0, e variamos f(0,k)-f(0,0)k =0-0k =0, .
partial fpartial y(0,0)=0
Para :
então
e o limite é .
Logo

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0

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