Considere a função definida nos pontos abaixo:
0 0.5 1.0
1.3 2.5 0.9
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange e estime .
(b) Determine o polinômio interpolador de Newton e estime .
(c) O que pode-se dizer sobre os polinômios obtidos nos itens (a) e (b)? Justifique.
(d) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Lagrange para pontos equidistantes. Estime .
(e) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Newton-Gregory na variável .
(f) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Newton-Gregory na variável .

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos
(x0,f0)=(0,1.3), (x1,f1)=(0.5,2.5), (x2,f2)=(1.0,0.9)
e pede:
(a) polinômio interpolador de Lagrange e f(0.8);
(b) polinômio interpolador de Newton e f(0.8);
(c) comparação entre (a) e (b);
(d) polinômio de Lagrange para pontos equidistantes e f(0.3);
(e) polinômio de Newton–Gregory em x;
(f) polinômio de Newton–Gregory em u.
O conteúdo usado será interpola\u00e7\u00e3o polinomial, diferen\u00e7as divididas e diferen\u00e7as finitas.

Passo 2

Construímos os polinômios base de Lagrange
L0(x)=(x-0.5)(x-1)(0-0.5)(0-1)=;2,(x-0.5)(x-1),
L1(x)=(x-0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1)=-4,x(x-1),
L2(x)=(x-0)(x-0.5)(1-0)(1-0.5)=2,x(x-0.5)

Passo 3

O polinômio de Lagrange é
P2(x)=1.3,L0(x)+2.5,L1(x)+0.9,L2(x) =-5.6,x^2+5.2,x+1.3
Estimando em x=0.8:
P2(0.8)=-5.6,(0.8)^2+5.2,(0.8)+1.3approx1.876

Passo 4

Na forma de Newton usamos diferenças divididas:
f[x0]=1.3, f[x0,x1]=2.5-1.30.5-0=2.4, f[x1,x2]=0.9-2.51-0.5=-3.2,
f[x0,x1,x2]=-3.2-2.41-0=-5.6
Logo
P2(x)=1.3+2.4,(x-0)-5.6,(x-0)(x-0.5) =-5.6,x^2+5.2,x+1.3
e
P2(0.8)approx1.876

Passo 5

Os polinômios de Lagrange e de Newton coincidem, pois ambos interpolam os mesmos três pontos e têm mesmo grau. As duas formas são apenas representações diferentes do mesmo P2(x).

Passo 6

Para pontos equidistantes xk=0+k,h com h=0.5 definimos u=x-00.5=2x e os polinômios base
L0(u)=(u-1)(u-2)(0-1)(0-2)=tfrac(u-1)(u-2)2, L1(u)=-u(u-2), L2(u)=u(u-1)2
O interpolador em função de u é
P2(u)=1.3,L0(u)+2.5,L1(u)+0.9,L2(u),
e para x=0.3 temos u=0.6, de onde
L0(0.6)=0.28,;L1(0.6)=0.84,;L2(0.6)=-0.12, P2(0.6)=1.3cdot0.28+2.5cdot0.84+0.9cdot(-0.12)approx2.356

Passo 7

Na forma de Newton–Gregory em x (forward) usamos h=0.5,
De<a y0=y1-y0=1.2, De<a^2y0=(y2-y1)-(y1-y0)=-2.8, e obtemos
P2(x)=f0+De<a y0h(x-0) +De<a^2y02!,h^2(x-0)(x-0.5) =1.3+2.4,x-5.6,x(x-0.5)

Passo 8

Na forma de Newton–Gregory em u (forward) com u=tfracx-00.5 e
De<a y0=1.2, De<a^2y0=-2.8 vale
P2(u)=y0+u,De<a y0+u(u-1)2,De<a^2y0 =1.3+1.2,u-1.4,u(u-1)

Resposta

(a) P2(x)=-5.6,x^2+5.2,x+1.3, f(0.8)approx1.876.
(b) P2(x)=1.3+2.4,(x-0)-5.6,(x-0)(x-0.5), f(0.8)approx1.876.
(c) São o mesmo polinômio, apenas em formas diferentes.
(d) Em forma equidistante
P2(u)=1.3,(u-1)(u-2)2+2.5l[-u(u-2)r]+0.9,u(u-1)2,
com u=2x, e f(0.3)approx2.356.
(e) Newton–Gregory em x: P2(x)=1.3+2.4x-5.6,x(x-0.5).
(f) Newton–Gregory em u: P2(u)=1.3+1.2,u-1.4,u(u-1).

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