Considere a função
definida nos pontos abaixo:
0
0.5
1.0
1.3
2.5
0.9
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange e estime
.
(b) Determine o polinômio interpolador de Newton e estime
.
(c) O que pode-se dizer sobre os polinômios obtidos nos itens (a) e (b)? Justifique.
(d) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Lagrange para pontos equidistantes. Estime
.
(e) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Newton-Gregory na variável
.
(f) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Newton-Gregory na variável
.
|
0 | 0.5 | 1.0 |
|
1.3 | 2.5 | 0.9 |
(b) Determine o polinômio interpolador de Newton e estime
(c) O que pode-se dizer sobre os polinômios obtidos nos itens (a) e (b)? Justifique.
(d) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Lagrange para pontos equidistantes. Estime
(e) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Newton-Gregory na variável
(f) Determine o polinômio interpolador usando a forma de Newton-Gregory na variável
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos
e pede:
(a) polinômio interpolador de Lagrange e ;
(b) polinômio interpolador de Newton e ;
(c) comparação entre (a) e (b);
(d) polinômio de Lagrange para pontos equidistantes e ;
(e) polinômio de Newton–Gregory em ;
(f) polinômio de Newton–Gregory em .
O conteúdo usado será interpola\u00e7\u00e3o polinomial, diferen\u00e7as divididas e diferen\u00e7as finitas.
(a) polinômio interpolador de Lagrange e
(b) polinômio interpolador de Newton e
(c) comparação entre (a) e (b);
(d) polinômio de Lagrange para pontos equidistantes e
(e) polinômio de Newton–Gregory em
(f) polinômio de Newton–Gregory em
O conteúdo usado será interpola\u00e7\u00e3o polinomial, diferen\u00e7as divididas e diferen\u00e7as finitas.
Passo 2
Construímos os polinômios base de Lagrange
Passo 3
O polinômio de Lagrange é
Estimando em
:
Passo 4
Na forma de Newton usamos diferenças divididas:
Logo
e
Passo 5
Os polinômios de Lagrange e de Newton coincidem, pois ambos interpolam os mesmos três pontos e têm mesmo grau. As duas formas são apenas representações diferentes do mesmo
.
Passo 6
Para pontos equidistantes
com
definimos
e os polinômios base
O interpolador em função de
é
e para
temos
, de onde
Passo 7
Na forma de Newton–Gregory em
(forward) usamos
,
,
, e obtemos
Passo 8
Na forma de Newton–Gregory em
(forward) com
e
,
vale
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) São o mesmo polinômio, apenas em formas diferentes.
(d) Em forma equidistante
(b)
(c) São o mesmo polinômio, apenas em formas diferentes.
(d) Em forma equidistante
com
, e
.
(e) Newton–Gregory em :
.
(f) Newton–Gregory em :
.
(e) Newton–Gregory em
(f) Newton–Gregory em