Considere o sistema linear
[ccc k & 3 & 1 k & 6 & 1 1 & 6 & 7 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ]
(a) Verifique para quais valores positivos de k o critério de Sassenfeld se aplica para garantir que o método de Gauss-Seidel gere uma sequência convergente para a solução do sistema.
(b) Escolha o menor valor inteiro positivo dentre os encontrados no item anterior e faça duas iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtido, considerando x^(0)=[l0 0 0].
(c) Determine o erro cometido no item (b).

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear
e pede:
– (a) usar o critério de Sassenfeld para valores positivos de que garantam convergência do método de Gauss–Seidel;
– (b) para o menor inteiro positivo admitido, fazer duas iterações de Gauss–Seidel a partir de ;
– (c) determinar o erro cometido.

Passo 2

Aplicando o critério de Sassenfeld definimos
beta1 = |a12|+|a13||a11| = 3+1k = 4k,
beta2 = |a21|beta1 + |a23||a22| = kcdot4k + 16 = 56,
beta3 = |a31|beta1 + |a32|beta2|a33| = 4k + 6cdot567 = 4k + 57
Para convergência precisamos
beta1<1, beta2<1, beta3<1
Isto dá
4k<1implies k>4, 56<1 (sempre verdadeiro), 4/k+57<1implies k>2
Logo, para k>4 temos maxbetai<1 e Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Escolhendo o menor inteiro positivo k=5, as fórmulas de Gauss–Seidel são
x1^(m+1) =1-3,x2^(m)-1,x3^(m)5, x2^(m+1) =2-5,x1^(m+1)-1,x3^(m)6, x3^(m+1) =3-1,x1^(m+1)-6,x2^(m+1)7
Com x^(0)=(0,0,0)^T obtemos
x1^(1)=15=0,2, x2^(1)=2-5cdot0,26=16approx0,1666667, x3^(1)=3-0,2-17=1,87approx0,2571429,
x1^(2)=1-3cdot0,1666667-0,25714295approx0,0485714, x2^(2)=2-5cdot0,0485714-0,25714296approx0,25, x3^(2)=3-0,0485714-6cdot0,257approx0,2073469

Passo 4

Para medir o erro precisamos da solução exata de A x=b com k=5. Subtraindo a primeira da segunda equação vem
3x2=1implies x2=13, 5x1+3x2+x3=1implies x3=-5x1,
e inserindo na terceira equação
x1+6cdot13+7(-5x1)=3 implies -34x1=1implies x1=-134,; x3=534
Logo
x^* =-tfrac134[6pt]tfrac13[3pt]tfrac534 approx -0,02941180,33333330,1470588
O erro após duas iterações é
e^(2) = x^* - x^(2) approx -0,02941180,33333330,1470588 - 0,04857140,250,2073469 = -0,07798320,0833333-0,0602881,
e sua norma-infinito é
|e^(2)|infty =max,|-0,0779832|,;0,0833333,;|-0,0602881| =0,0833333 ]

Resposta

(a) O método de Gauss– Seidel converge pelo critério de Sassenfeld para
k>4
(b) Tomando k=5 e x^(0)=(0,0,0)^T, as duas primeiras iterações são
x^(1) approx 0,2[3pt]0,1666667[3pt]0,2571429, x^(2) approx 0,0485714[3pt]0,25[3pt]0,2073469
(c) A solução exata é
x^*=(-1/34,,1/3,,5/34)^T,
o erro após duas iterações é
e^(2) approx -0,07798320,0833333-0,0602881,
com |e^(2)|infty=0,0833333.
]

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