Considere o sistema linear
[lll 0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 0 0 ]
(a) Efetue permutações de linhas e determine um intervalo de valores positivos para t de forma que o critério de sassenfeld esteja satisfeito.
(b) Tome t=4, efetue permutações de linhas se necessário e resolva o sistema obtido usando o método de Gauss-Seidel, com x^(0)=[l0.1 0.1 0.1] e varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
e pede:
(a) encontrar, por permutações de linhas, um intervalo de tal que o critério de Sassenfeld garanta convergência de Gauss-Seidel;
(b) para , aplicar (se preciso) permutações, e resolver por Gauss-Seidel com e .

Passo 2

Como a primeira linha tem coeficiente zero em , trocamos as linhas e fixa, obtendo o sistema permutado

Passo 3

Aplicando o critério de Sassenfeld ao sistema acima em função de t:
beta1 = |2|+|0||t| = 2t, beta2 = |2|beta1 + |0||2| = 2t, beta3 = 0

Passo 4

O critério exige maxbeta1,beta2,beta3<1, isto é,
2t<1 Longrightarrow t>2
Logo, para todo t>2 (e t>0), o método de Gauss-Seidel converge.

Passo 5

Tomando t=4, o sistema permutado fica
4x1 + 2x2 = 0, 2x1 + 2x2 = 0, x3 = 1
De cada equação isolamos a variável principal:
x1 = -tfrac12,x2, x2 = -x1, x3 = 1,
de onde a iteração de Gauss-Seidel é
x1^(k+1) = -tfrac12,x2^(k), x2^(k+1) = -,x1^(k+1), x3^(k+1) = 1

Passo 6

Com x^(0)=(0,1,0,1,0,1) e varepsilon=0,01, calculamos:
x^(1) &= l(-0,05,;0,05,;1r), x^(2) &= l(-0,025,;0,025,;1r), x^(3) &= l(-0,0125,;0,0125,;1r), x^(4) &= l(-0,00625,;0,00625,;1r)
Em cada passo medimos |x^(k+1)-x^(k)|infty. Só em k=4 obtemos
|x^(4)-x^(3)|infty = 0,00625 < 0,01,
portanto paramos na 4ª iteração, com solução aproximada
xapprox(-0,00625,;0,00625,;1)

Resposta

(a) Por permutação de linhas 1 rightarrow 3, o critério de Sassenfeld dá beta1=beta2=2/t, beta3=0, e exige t>2.
(b) Para t=4, o Gauss-Seidel converge em 4 iterações a
xapprox(-0,00625,;0,00625,;1)

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