Considere a função
. Deseja-se encontrar uma aproximação para a raiz real de
no intervalo
usando o método do ponto fixo.
(a) Mostre que existe uma única raiz de
no intervalo
:
(b) Considere as funções de iteração a seguir:
(c) Enuncie o Teorema do Ponto Fixo e encontre as seguintes informações sobre as funções iterativas:
i. O domínio das funções iterativas
e
.
ii. As derivadas
e
(e) Conclua se podemos garantir que as iterações
e
convergem para a raiz de
quando o valor inicial
. Nos casos em que não é possível garantir a convergência, é possível assegurar a divergência utilizando o Teorema do Ponto Fixo?
(a) Mostre que existe uma única raiz de
(b) Considere as funções de iteração a seguir:
i. O domínio das funções iterativas
ii. As derivadas
(e) Conclua se podemos garantir que as iterações
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para aproximar sua raiz real no intervalo
pelo método do ponto fixo. Para isso vamos usar:
– Teorema do Valor Intermediário (para existência de raiz);
– Unicidade via ;
– Formulações de iteração ;
– Teorema do Ponto Fixo (condição de contração).
– Teorema do Valor Intermediário (para existência de raiz);
– Unicidade via
– Formulações de iteração
– Teorema do Ponto Fixo (condição de contração).
Passo 2
Mostramos que existe e é única a raiz em
.
— é polinomial, logo contínua em
.
— e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
com
.
— Calculemos
—
—
— Calculemos
Em
vale
, logo
é estritamente crescente e não pode ter duas raízes.
Passo 3
Identificamos os domínios naturais de
— Para
é preciso
, ou seja
.
— Para não há restrição (é polinomial).
— Para
Passo 4
Derivamos:
Passo 5
Enunciamos o Teorema do Ponto Fixo (versão contração):
Aplicando em
:
— Para :
.
Em
,
— Para
Logo
é contração em
e garante convergência da iteração a
.
— Para
:
.
Além disso, em
,
, não é contração.
Portanto não podemos aplicar o Teorema do Ponto Fixo para garantir convergência. Tampouco o teorema assegura divergência.
Portanto não podemos aplicar o Teorema do Ponto Fixo para garantir convergência. Tampouco o teorema assegura divergência.
Resposta
A iteração
é contração em
e converge para a raiz de
qualquer que seja
.
A iteração
A iteração
não satisfaz as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo em
, logo não há garantia de convergência nem se pode inferir divergência pelo mesmo teorema.