Considere a função f(x)=x^4-2 x-5. Deseja-se encontrar uma aproximação para a raiz real de f(x) no intervalo [2,3] usando o método do ponto fixo.
(a) Mostre que existe uma única raiz de f(x) no intervalo (2,3) :
(b) Considere as funções de iteração a seguir:
g1(x)=raiz[4]2 x+5 e g2(x)=x^4-52
(c) Enuncie o Teorema do Ponto Fixo e encontre as seguintes informações sobre as funções iterativas:
i. O domínio das funções iterativas g1 e g2.
ii. As derivadas g1^prime(x) e g2^prime(x)
(e) Conclua se podemos garantir que as iterações xk+1=g1(xk) e xk+1=g2(xk) convergem para a raiz de f(x) quando o valor inicial x0 in2,3. Nos casos em que não é possível garantir a convergência, é possível assegurar a divergência utilizando o Teorema do Ponto Fixo?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^4-2x-5
e pede para aproximar sua raiz real no intervalo [1,2] pelo método do ponto fixo. Para isso vamos usar:
– Teorema do Valor Intermediário (para existência de raiz);
– Unicidade via f'>0;
– Formulações de iteração xk+1=g(xk);
– Teorema do Ponto Fixo (condição de contração).

Passo 2

Mostramos que existe e é única a raiz em (1,2).
f é polinomial, logo contínua em R.
f(1)=1-2-5=-6<0 e f(2)=16-4-5=7>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe rin(1,2) com f(r)=0.
— Calculemos
f'(x)=4x^3-2
Em [1,2] vale 4x^3-2>=4cdot1^3-2=2>0, logo f é estritamente crescente e não pode ter duas raízes.

Passo 3

Identificamos os domínios naturais de
g1(x)=raiz[4]2x+5, g2(x)=x^4-52
— Para g1(x) é preciso 2x+5>=0, ou seja x>=-5/2.
— Para g2(x) não há restrição (é polinomial).

Passo 4

Derivamos:
g1'(x) =14(2x+5)^-3/4cdot2 =12,(2x+5)^3/4,
g2'(x) =4x^32 =2x^3

Passo 5

Enunciamos o Teorema do Ponto Fixo (versão contração):
Se gcolon Dto DsubsetR é contínua em D e |g'(x)|<= L<1 em D, éí
então existe única rin D com g(r)=r e, para todo x0in D, ãú
limktoinftyxk=r, xk+1=g(xk)
Aplicando em D=[1,2]:
— Para g1:
bul<=t g1([1,2])=[raiz[4]7,raiz[4]9]approx[1,6266,1,732]subset[1,2].
bul<=t Em [1,2],
|g1'(x)|<= g1'(1)=12cdot7^3/4approx0,12<1
Logo g1 é contração em [1,2] e garante convergência da iteração a r.
— Para g2:
bul<=t g2([1,2])=[(1-5)/2,,(16-5)/2]=[-2,5,5]notsubset[1,2].
bul<=t Além disso, em [1,2], g2'(x)=2x^3>=2>1, não é contração.
Portanto não podemos aplicar o Teorema do Ponto Fixo para garantir convergência. Tampouco o teorema assegura divergência.

Resposta

A iteração
xk+1=g1(xk)
é contração em [1,2] e converge para a raiz de f qualquer que seja x0in[1,2].
A iteração
xk+1=g2(xk)
não satisfaz as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo em [1,2], logo não há garantia de convergência nem se pode inferir divergência pelo mesmo teorema.

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