Considere a função de duas variáveis f(x, y)=2 x^2+y^2-3 x y+y-5.
Em relação a essa função, é correto afirmar que
a) a função tem um mínimo relativo no ponto (3,4).
b) a taxa de variação máxima da função no ponto (1,2) é igual a raiz2.
c) a derivada direcional de f(x, y) no ponto (1,2) na direção e sentido do vetor v=3 imath+4 jmath é igual a 25.
d) a função possui dois pontos críticos.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é sobre a função de duas variáveis
f(x,y)=2x^2+y^2-3xy+y-5
O conteúdo é cálculo multivariável: queremos obter derivadas parciais (gradient), achar pontos críticos, classificar extremos usando a matriz Hessiana e calcular derivada direcional. Para isso precisamos:
  1. calcular e ;
  2. resolver pra achar pontos críticos;
  3. usar o Hessiano pra ver se é mínimo, máximo ou sela;
  4. usar pra taxa de variação máxima;
  5. usar pra derivada direcional.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 4x - 3y, fy = partial fpartial y = 2y -3x +1
O vetor gradiente fica .

Passo 3

Pontos críticos: resolvemos
4x - 3y = 0, 2y - 3x +1 = 0
Da primeira equação vem 2l(tfrac43xr)-3x+1 = 0 ;Rightarrow; tfrac83x -3x +1=0 ;Rightarrow; -tfrac13x +1=0 ;Rightarrow; x=3, . Substituindo na segunda:
logo . Só existe o ponto crítico .

Passo 4

Classificação com o Hessiano
[
H =
H = fxx & fxy fyx & fyy = 4 & -3 -3 & 2

.
]
O determinante é . Isso indica ponto de sela, não mínimo nem máximo.

Passo 5

Taxa de variação máxima no ponto nabla f(1,2) = (4cdot1-3cdot2,;2cdot2-3cdot1+1) = (-2,;2) : é |(-2,2)| = raiz(-2)^2+2^2 = raiz8 = 2raiz2, . Primeiro
O módulo é
então não é .

Passo 6

Derivada direcional em na direção de :
  1. vetor unitário .

Passo 7

Resumo das opções:
a) mínimo em (3,4)? Não, é ponto de sela.
b) taxa máxima em (1,2) = ? Não, é .
c) derivada direcional = ? Sim.
d) dois pontos críticos? Não, só um.

Resposta

A única afirmativa correta é a letra c).

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