Considere a função de duas variáveis
.
Em relação a essa função, é correto afirmar que
a) a função tem um mínimo relativo no ponto
.
b) a taxa de variação máxima da função no ponto (1,2) é igual a
.
c) a derivada direcional de
no ponto (1,2) na direção e sentido do vetor
é igual a
.
d) a função possui dois pontos críticos.
Em relação a essa função, é correto afirmar que
a) a função tem um mínimo relativo no ponto
b) a taxa de variação máxima da função no ponto (1,2) é igual a
c) a derivada direcional de
d) a função possui dois pontos críticos.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão é sobre a função de duas variáveis
O conteúdo é cálculo multivariável: queremos obter derivadas parciais (gradient), achar pontos críticos, classificar extremos usando a matriz Hessiana e calcular derivada direcional. Para isso precisamos:
- calcular
e ; - resolver
pra achar pontos críticos; - usar o Hessiano pra ver se é mínimo, máximo ou sela;
- usar
pra taxa de variação máxima; - usar
pra derivada direcional.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
O vetor gradiente fica
.
Passo 3
Pontos críticos: resolvemos
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
logo
. Só existe o ponto crítico
.
Passo 4
Classificação com o Hessiano
[
H =
]
O determinante é
. Isso indica ponto de sela, não mínimo nem máximo.
Passo 5
Taxa de variação máxima no ponto
: é
. Primeiro
O módulo é
então não é
.
Passo 6
Derivada direcional em
na direção de
:
- vetor unitário
. -
Passo 7
Resumo das opções:
a) mínimo em (3,4)? Não, é ponto de sela.
b) taxa máxima em (1,2) = ? Não, é
.
c) derivada direcional = ? Sim.
d) dois pontos críticos? Não, só um.
a) mínimo em (3,4)? Não, é ponto de sela.
b) taxa máxima em (1,2) =
c) derivada direcional =
d) dois pontos críticos? Não, só um.
Resposta
A única afirmativa correta é a letra c).