Usando o método de eliminação de Gauss, resolva os seguintes sistemas lineares:
\left[\begin{array}{cccc|}2 & 2 & 1 & 1 \\\ 1 & -1 & 2 & -1 \\\ 3 & 2 & -3 & -2 \\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \x_{2} \x_{3} \x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7 \\\ 1 \\\ 4 \\\ 12\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 & -1\\\\ 3 & 2 & -3 & -2\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\\ 1\\\ 4\\\ 12\end{pmatrix}
usando o método de eliminação de Gauss, que consiste em transformar a matriz aumentada em forma triangular superior e depois usar substituição para encontrar as incógnitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 & 7\\\\ 1 & -1 & 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 2 & -3 & -2 & 4\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 & 12 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô a_{11}=2:
R2 ← R2 − \tfrac12R1,
R3 ← R3 − \tfrac32R1,
R4 ← R4 − 2 R1.
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 & 7\\\\ 0 & -2 & \tfrac32 & -\tfrac32 & -\tfrac52\\\\ 0 & -1 & -\tfrac92 & -\tfrac72 & -\tfrac{13}2\\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \end{array}\right]

Passo 4

Agora o pivô é a_{22}=-2. Eliminamos abaixo:
R3 ← R3 − \tfrac{1}{2}R2,
R4 ← R4 − \tfrac{1}{2}R2.
Isso dá
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 & 7\\\\ 0 & -2 & \tfrac32 & -\tfrac32 & -\tfrac52\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{21}{4} & -\tfrac{11}{4} & -\tfrac{21}{4}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac34 & -\tfrac14 & -\tfrac34 \end{array}\right]

Passo 5

O pivô em (3,3) é -\tfrac{21}{4}. Eliminamos abaixo:
R4 ← R4 − \tfrac{1}{7}R3,
ficando
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 & 7\\\\ 0 & -2 & \tfrac32 & -\tfrac32 & -\tfrac52\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{21}{4} & -\tfrac{11}{4} & -\tfrac{21}{4}\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{7} & 0 \end{array}\right]

Passo 6

Agora fazemos substituição retroativa:
Da última linha, \tfrac{1}{7}x_{4}=0 x_{4}=0.
Na terceira linha,
-\tfrac{21}{4}x_{3}-\tfrac{11}{4}x_{4}=-\tfrac{21}{4} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=1.
Na segunda linha,
-2x_{2}+\tfrac32x_{3}-\tfrac32x_{4}=-\tfrac52 \quad\Longrightarrow\quad -2x_{2}+\tfrac32=-\tfrac52 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=2.
Na primeira linha,
2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1}+4+1=7 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1,\;x_{2}=2,\;x_{3}=1,\;x_{4}=0

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