1. Considere a função f(x)=2 x^4-2 x^3-x^2-x-3. Encontre o único ponto de mínimo de f, com erro menor que 10^-5, pelos métodos da bissecção e de Newton. Mostre que o método de Newton converge para x0>1.

Passo 1

O enunciado pede o único ponto de mínimo de
f(x)=2x^4-2x^3-x^2-x-3
com erro menor que 10^-5 usando dois métodos numéricos (bissecção e Newton). Para isso precisamos achar as raízes da derivada
f'(x)=8x^3-6x^2-2x-1
e verificar que corresponde a mínimo, usando ainda
f''(x)=24x^2-12x-2

Passo 2

Vamos localizar o sinal de f' em um intervalo inicial. Calculamos
f'(1)=8-6-2-1=-1<0, f'(2)=64-24-4-1=35>0
Como f' é contínua, existe uma raiz única xiin(1,2). Além disso, para x>=1 temos
f''(x)=24x^2-12x-2m|x=1=10>0
e, como f'' é quadrática com concavidade para cima, segue f''(x)>0 em [1,infty). Logo f' é estritamente crescente e a raiz em (1,2) é de fato um mínimo de f.

Passo 3

Método da bissecção em [a,b]=[1,2]: em cada iteração tomamos
c=a+b2,
avaliamos f'(c) e substituímos a ou b conforme o sinal. O erro em valor médio satisfaz
b-a2^n+1<10^-5
se tfrac12^n+1<10^-5, o que dá n+1>log2(10^5)approx16,6. Basta n=16 iterações. Após 16 passos a aproximação é
xbisapprox1,085697174
com erro abaixo de 10^-5.

Passo 4

Método de Newton: a iteração é
xk+1=xk-f'(xk)f''(xk)
Escolhendo, por exemplo, x0=1,5, obtemos rapidamente:
x1approx1,22059, x2approx1,10650, x3approx1,08565, x4approx1,085697
Após 4 iterações já temos precisão melhor que 10^-5.

Passo 5

Para mostrar que Newton converge para qualquer x0>1, note que em [1,infty) vale f''(x)>0, logo o denominador é sempre positivo. Basta ver que
xk+1=xk-f'(xk)f''(xk)>1
sempre que xk>1. De fato, escrevendo
f'(x)=(x-1)(8x^2+2x)-1, f''(x)=24x^2-12x-2,
vemos que para x>1
(x-1)(8x^2+2x)<(x-1)l(24x^2-12x-2r)
pois isso equivale a
0<16x^2-14x-2
que é verdadeiro em x>1. Assim
f'(x)<(x-1),f''(x) Longrightarrow f'(x)f''(x)<x-1 Longrightarrow x-f'(x)f''(x)>1,
isto é, xk+1>1. Logo toda iteração fica em (1,infty) onde f' é convexa e Newton converge monotonamente ao mínimo.

Resposta

O ponto de mínimo é
x^*approx1,085697
com erro inferior a 10^-5 tanto pelo método da bissecção quanto pelo método de Newton. Newton converge para qualquer x0>1.

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