Considere a função . Encontre o único ponto de mínimo de , com erro menor que , pelos métodos da bissecção e de Newton. Mostre que o método de Newton converge para .
Passo 1
O enunciado pede o único ponto de mínimo de
com erro menor que usando dois métodos numéricos (bissecção e Newton). Para isso precisamos achar as raízes da derivada
e verificar que corresponde a mínimo, usando ainda
Passo 2
Vamos localizar o sinal de em um intervalo inicial. Calculamos
Como é contínua, existe uma raiz única . Além disso, para temos
e, como f'' é quadrática com concavidade para cima, segue f''(x)>0 em [1,infty). Logo f' é estritamente crescente e a raiz em (1,2) é de fato um mínimo de f.
Passo 3
Método da bissecção em [a,b]=[1,2]: em cada iteração tomamos
c=a+b2,
avaliamos f'(c) e substituímos a ou b conforme o sinal. O erro em valor médio satisfaz
b-a2^n+1<10^-5
se tfrac12^n+1<10^-5, o que dá n+1>log2(10^5)approx16,6. Basta n=16 iterações. Após 16 passos a aproximação é
xbisapprox1,085697174
com erro abaixo de 10^-5.
Passo 4
Método de Newton: a iteração é
xk+1=xk-f'(xk)f''(xk)
Escolhendo, por exemplo, x0=1,5, obtemos rapidamente: