1. Considere a identidade trigonométrica
cos (4 theta)=8 cos ^4(theta)-8 cos ^2(theta)+1
Temos que as raízes do polinômio p(x)=8 x^4-8 x^2+1 são dadas por -cos (pi8),-cos (3 pi8), cos (3 pi8) e cos (pi8).
(a) Determine um intervalo [a, b] que contenha a maior raiz de p(x) para o qual as hipóteses do Teorema da convexidade sejam satisfeitas, de modo que b-a<1.
(b) Escolha um ponto x0 in[a, b] para o qual a sequência gerada pelo método de Newton para a equação p(x)=0 seja convergente e monte uma tabela explicitando os cálculos (finais e intermediários) das primeiras 5 iterações do método de Newton-Raphson, com ponto inicial x0 escolhido.

Passo 1

O enunciado dá a identidade
cos(4theta)=8cos^4(theta)-8cos^2(theta)+1
e define o polinômio
p(x)=8x^4-8x^2+1
cuja maior raiz é
x^*=cosl(tfracpi8r)approx0,9239
Na parte (a) queremos um intervalo [a,b] contendo x^* em que as hipóteses do Teorema da convexidade (para Newton) sejam satisfeitas e b-a<1. Esse teorema exige que em [a,b] tenhamos
  1. p'(x)neq0 e p''(x) não mude de sinal,
  2. p(a),p(b)<0 (para garantir a existência de uma raiz única em [a,b]).
    Na parte (b) escolhemos x0in[a,b] e aplicamos o método de Newton
xn+1=xn-p(xn)p'(xn)
para gerar as cinco primeiras iterações.

Passo 2

Calculemos as derivadas de p:
p'(x)=32x^3-16x=16x,(2x^2-1), p''(x)=96x^2-16
Observamos que
  • p'(x)>0 sempre que x>1/raiz2approx0,7071,
  • p''(x)>0 sempre que x^2>1/6, isto é, lvert xrvert>1/raiz6approx0,4082.
Para garantir p'>0 e p''>0 em todo o intervalo, basta escolher a>0,7071.

Passo 3

Escolhemos, por exemplo,
[a,b]=[0,8,;1]
Verificações:
p(0,8)=8,(0,8)^4-8,(0,8)^2+1approx-0,8432<0, p(1)=8-8+1=1>0,
logo p(0,8),p(1)<0 e há raiz única em [0,8,1]. Além disso, para todo xin[0,8,1] temos x>0,7071 e x>0,4082, então p'(x)>0 e p''(x)>0. O comprimento do intervalo é 1-0,8=0,2<1.

Passo 4

Escolhemos como ponto inicial
x0=1in[0,8,1]

Passo 5

Aplicamos o método de Newton até obter cinco iterações. Na tabela abaixo, para estão , , e .
Em poucas iterações já se aproxima de .

Resposta

(a) [a,b]=[0,8,1]
(b) Tabela das primeiras cinco iterações exibida acima.

Exercícios relacionados