- Considere a identidade trigonométrica
Temos que as raízes do polinômio
são dadas por
,
e
.
(a) Determine um intervalo
que contenha a maior raiz de
para o qual as hipóteses do Teorema da convexidade sejam satisfeitas, de modo que
.
(b) Escolha um ponto
para o qual a sequência gerada pelo método de Newton para a equação
seja convergente e monte uma tabela explicitando os cálculos (finais e intermediários) das primeiras 5 iterações do método de Newton-Raphson, com ponto inicial
escolhido.
(a) Determine um intervalo
(b) Escolha um ponto
Passo 1
O enunciado dá a identidade
e define o polinômio
cuja maior raiz é
Na parte (a) queremos um intervalo
contendo
em que as hipóteses do Teorema da convexidade (para Newton) sejam satisfeitas e
. Esse teorema exige que em
tenhamos
-
e não mude de sinal, -
(para garantir a existência de uma raiz única em ).
Na parte (b) escolhemose aplicamos o método de Newton
para gerar as cinco primeiras iterações.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
:
Observamos que
-
sempre que , -
sempre que , isto é, .
Para garantir
e
em todo o intervalo, basta escolher
.
Passo 3
Escolhemos, por exemplo,
Verificações:
logo
e há raiz única em
. Além disso, para todo
temos
e
, então
e
. O comprimento do intervalo é
.
Passo 4
Escolhemos como ponto inicial
Passo 5
Aplicamos o método de Newton até obter cinco iterações. Na tabela abaixo, para
estão
,
,
e
.
Em poucas iterações já se aproxima de
.
Resposta
(a)
(b) Tabela das primeiras cinco iterações exibida acima.
(b) Tabela das primeiras cinco iterações exibida acima.