1. Deseja-se resolver a equação x^3-x-1=0 pelo método do ponto fixo, utilizando x0=1 e a seguinte função de iteração
phi(x)=1x+1x^2
(a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz alpha no intervalo [1.3,1.4] e que alpha é ponto fixo de phi.
(b) Calcule 10 iterações, partindo-se de x0=1.
(c) Mostre que phi(y)-phi(x)=(y-x)(1x y+x+yx^2 y^2) e conclua que phi NÃO é uma contração em qualquer intervalo [a, b] que contenha a raiz alpha.
(d) Mostre que a derivada phi^prime(x) é crescente no intervalo [1.3,1.4] e que, portanto,
min x in[1.3,1.4]|phi^prime(x)| >=|phi^prime(1.4)|>1.2
(e) Utilizando o Teorema do valor médio
phi(xn)-alphaxn-alpha=phi^prime(xi), com xi entre xn e alpha,
conclua que, sempre que xn in[1.3,1.4] e xn neq alpha, então
|xn+1-alpha|=|phi(xn)-alpha| >= 1.2|xn-alpha|
(f) Seja x0 in R e considere a sequência definida por xn+1=phi(xn). Mostre que, se xj in[1.3,1.4] e xj neq alpha, então existe algum k>j tal que xk neq[1.3,1.4]. Conclua que, em geral, a sequência gerada por phi não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método do ponto fixo com
phi(x)=1x+1x^2
para resolver
x^3-x-1=0,
começando em x0=1. Vamos verificar em (a) a existência e unicidade da raiz alpha em [1.3,1.4] e mostrar que ela satisfaz alpha=phi(alpha). Em (b) calculamos 10 iterações. Em (c) exibimos a diferença phi(y)-phi(x) e mostramos que não há contração em nenhum intervalo contendo alpha. Em (d) estudamos a derivada phi^prime em [1.3,1.4] e obtemos um cota inferior >1.2. Em (e) aplicamos o Teorema do Valor Médio para ver que o erro cresce. Finalmente, em (f) concluímos que a sequência acaba saindo de [1.3,1.4] e não converge, tornando phi inadequada.

Passo 2

(a) Defina f(x)=x^3-x-1. Note que
f(1.3)=1.3^3-1.3-1=2.197-2.3=-0.103<0,
f(1.4)=1.4^3-1.4-1=2.744-2.4=0.344>0
Como f é contínua e estritamente crescente (pois f'(x)=3x^2-1>0 para x>=1.3), existe uma única raiz alphain[1.3,1.4]. Se x é raiz, x^3=x+1, então
x=x+1x^2=1x+1x^2=phi(x),
logo alpha é ponto fixo de phi.

Passo 3

(b) Calculamos xn+1=phi(xn) para n=0,dots,9:
x1=phi(1)=1+;1=2.000000,
x2=phi(2)=0.5+0.25=0.750000,
x3=phi(0.75)=1.333333+1.777778=3.111111,
x4=phi(3.111111)approx0.321428+0.103333=0.424761,
x5=phi(0.424761)approx2.3530+5.5451=7.8981,
x6=phi(7.8981)approx0.1266+0.0160=0.1426,
x7=phi(0.1426)approx7.0141+49.1640=56.1781,
x8=phi(56.1781)approx0.01780+0.000317=0.018117,
x9=phi(0.018117)approx55.1813+3045.12=3100.30,
x10=phi(3100.30)approx0.0003226+0.00000010=0.0003227
O valor salta entre regiões perto de zero e valores grandes, não se aproximando de alpha.

Passo 4

(c) Para quaisquer x,yneq0,
phi(y)-phi(x)=l(1y-1xr)+l(1y^2-1x^2r) =x-yxy+x^2-y^2x^2y^2 =(y-x)l(1xy+x+yx^2y^2r)
Se existisse beta<1 tal que lvertphi(y)-phi(x)rvert<=betalvert y-xrvert em [a,b]nialpha, deveríamos ter
1xy+x+yx^2y^2<=beta<1 forall,x,yin[a,b]
Mas esse coeficiente é sempre maior que 1 em qualquer intervalo contendo alpha (por ex. em [1.3,1.4] ele vale pelo menos 1.5 quando x=y=1.3). Logo phi não é contração.

Passo 5

(d) Calculamos
phi'(x)=-1x^2-2x^3=-x+2x^3
Defina g(x)=lvertphi'(x)rvert=x+2x^3. Vê– se
g'(x) =1cdot x^3-(x+2)cdot3x^2x^6 =-2x^3-6x^2x^6<0 para x>0,
então g é decrescente e phi' é crescente em [1.3,1.4]. Assim
minxin[1.3,1.4]|phi'(x)|=|phi'(1.4)|=1.4+21.4^3approx1.24>1.2

Passo 6

(e) Pelo Teorema do Valor Médio, para cada xnneqalpha em [1.3,1.4] existe xi entre xn e alpha tal que
phi(xn)-phi(alpha)xn-alpha =phi'(xi)
Como phi(alpha)=alpha, isso dá
|xn+1-alpha| =|phi(xn)-alpha| =|phi'(xi)|,|xn-alpha| >=1.2,|xn-alpha|
Portanto o erro não diminui, mas cresce pelo menos em 20% a cada passo.

Passo 7

(f) Se em algum j tivermos xjin[1.3,1.4] e xjneqalpha, então a partir de (e) o erro aumenta em pelo menos 1.2 vezes a cada iteração. Logo em algum k>j a diferença |xk-alpha| será tão grande que xk sai de [1.3,1.4]. Isso mostra que a sequência não pode permanecer no intervalo de forma estável, nem convergir para alpha. Concluímos que o método de ponto fixo com esta phi não é adequado para resolver x^3-x-1=0.

Resposta

(a) A equação tem raiz única alphain[1.3,1.4] e alpha=phi(alpha).
(b) As 10 iterações oscilam sem convergir, por exemplo x1=2, x2=0.75, x3approx3.11, ···, x10approx0.00032.
(c)
phi(y)-phi(x)=(y-x)l(1xy+x+yx^2y^2r),
que em qualquer intervalo contendo alpha excede 1, logo não há contração.
(d)
phi'(x)=-x+2x^3
é crescente em [1.3,1.4] e
min|phi'(x)|=|phi'(1.4)|approx1.24>1.2.
(e) Pelo MVT,
lvert xn+1-alpharvert>=1.2,lvert xn-alpharvert.
(f) Assim, se xjin[1.3,1.4] e xjneqalpha, a sequência sai desse intervalo em algum passo subsequente e não converge.

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