Considere a função f(x)=(x+1)^2 e^x^2-2-1.
Estime o número de iteraçães necessárias para obter a raiz xi in[0,1] com uma precisão de varepsilon=10^-2 quando utilizamos o método da bissecção.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos a função
f(x) = (x+1)^2 e^,x^2-2 - 1
e queremos achar a raiz que está no intervalo usando o método da bissecção, até uma precisão .”
Isso é cálculo numérico (método da bissecção) e vamos precisar de:
  1. Garantir que a raiz existe em (teorema de Bolzano).
  2. Saber como calcular o número mínimo de iterações do método da bissecção para chegar na precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, garantimos que há raiz em f(0) = (0+1)^2 e^0^2-2-1 = e^-2-1 approx -0.8647 < 0, aplicando Bolzano.
Calcula-se:
f(1) = (1+1)^2 e^1^2-2-1 = 4e^-1-1 approx 0.4715 > 0
Como , existe pelo menos uma raiz em e podemos usar bissecção.

Passo 3

No método da bissecção, a cada iteração a largura do intervalo onde a raiz está cai pela metade. Se b0 - a02^n = 12^n e 12^n <= 10^-2 Longrightarrow 2^n >= 100 Longrightarrow n >= log2(100), após iterações o erro máximo é
Queremos esse erro , ou seja

Passo 4

Calculando log2(100) = ln(100)ln(2) approx 4.60520.6931 approx 6.64:
n = lceil 6.64rceil = 7
Como tem que ser inteiro e cobrir esse valor, fazemos o teto:

Resposta

Precisamos de 7 iterações de bissecção para garantir precisão de .

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