Suponha que
é uma função real contínua em
. Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
O Método da bissecção sempre produz uma sequência convergente
que converge para a raiz presente no intervalo inicial
.
O Método da bissecção sempre produz uma sequência convergente
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos uma função real
, contínua em
, e sabemos que
. A pergunta é: “O método da bissecção SEMPRE gera uma sequência
que converge para uma raiz de
dentro de
?”
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e Método da Bissecção.
O que precisamos:
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e Método da Bissecção.
O que precisamos:
- Entender por que existe ao menos uma raiz (TVI).
- Ver como o método da bissecção escolhe
e reduz o intervalo. - Mostrar que o tamanho do intervalo vai a zero e, portanto,
converge para essa raiz.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Valor Intermediário diz:
Se é contínua em
e
, então existe pelo menos um
tal que
.
Ou seja, já garantimos: tem raiz!
Se
Ou seja, já garantimos: tem raiz!
Agora, o MÉTODO DA BISSEÇÃO funciona assim:
- Começamos com o intervalo
. - Definimos o ponto médio
- Olhamos o sinal de
. - Se
, então há raiz em ; definimos . - Caso contrário, a raiz está em
; definimos .
- Se
- Repetimos: a cada passo
escolhemos e substituímos por um dos subintervalos de comprimento metade, sempre preservando o sinal oposto em suas extremidades.
Passo 3
Por que isso converge?
- A cada iteração, o comprimento do intervalo
é a metade do anterior: - As sequências
e são, respectivamente, não decrescente ( aumenta) e não crescente ( diminui), e satisfazem - Por compressão (teorema do intervalo encadeado), existe um único ponto
tal que - Como
está sempre “preso” entre e , pela propriedade do sanduíche tem-se - Continuidades e a manutenção de
garantem .
Resposta
Verdadeira. O método da bissecção sempre gera uma sequência
convergente para alguma raiz de
em
.