Suponha que f(x) é uma função real contínua em [a, b] com f(a) f(b)<0. Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
O Método da bissecção sempre produz uma sequência convergente xk que converge para a raiz presente no intervalo inicial [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos uma função real , contínua em , e sabemos que . A pergunta é: “O método da bissecção SEMPRE gera uma sequência que converge para uma raiz de dentro de ?”
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e Método da Bissecção.
O que precisamos:
  • Entender por que existe ao menos uma raiz (TVI).
  • Ver como o método da bissecção escolhe e reduz o intervalo.
  • Mostrar que o tamanho do intervalo vai a zero e, portanto, converge para essa raiz.

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Valor Intermediário diz:
Se x1 = a0 + b02 é contínua em xk = ak-1 + bk-12, e , então existe pelo menos um tal que .
Ou seja, já garantimos: tem raiz!
Agora, o MÉTODO DA BISSEÇÃO funciona assim:
  1. Começamos com o intervalo .
  2. Definimos o ponto médio
  3. Olhamos o sinal de .
    • Se , então há raiz em ; definimos .
    • Caso contrário, a raiz está em ; definimos .
  4. Repetimos: a cada passo escolhemos e substituímos por um dos subintervalos de comprimento metade, sempre preservando o sinal oposto em suas extremidades.

Passo 3

Por que isso converge?
  1. A cada iteração, o comprimento do intervalo bk - ak = bk-1 - ak-12 = b - a2^k é a metade do anterior: ak <= xk <= bk, bk - ak to 0
  2. As sequências limktoinfty ak =limktoinfty bk = c e limktoinfty xk = c são, respectivamente, não decrescente ( aumenta) e não crescente ( diminui), e satisfazem
  3. Por compressão (teorema do intervalo encadeado), existe um único ponto tal que
  4. Como está sempre “preso” entre e , pela propriedade do sanduíche tem-se
  5. Continuidades e a manutenção de garantem .

Resposta

Verdadeira. O método da bissecção sempre gera uma sequência convergente para alguma raiz de em .

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