Suponha que é uma função real contínua em . Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
O método da bissecção irá reduzir o erro pela metade a cada nova iteração.
Passo 1
O enunciado diz: seja contínua em com . A pergunta é: “O método da bissecção reduz o erro pela metade a cada iteração?”
Conteúdo: método numérico de bissecção e análise de erro.
O que precisamos:
Entender como a bissecção gera um novo intervalo em cada iteração.
Ver como a largura desse intervalo se relaciona com o erro da aproximação.
Passo 2
Antes de tudo, lembra do Teorema do Valor Intermediário: se é contínua e muda de sinal em , então existe pelo menos uma raiz .
O método da bissecção faz assim:
Calcula o ponto médio .
Avalia .
Se , a raiz está em ; senão, está em .
Em cada iteração, a gente “corta” o intervalo original ao meio para manter o sinal trocado em uma das metades.
Passo 3
Agora, a parte do erro. Chama de e os extremos do intervalo na iteração .
Inicialmente, e , largura .
A cada iteração , a largura do novo intervalo é
Se a aproximação da raiz for o ponto médio , então o erro máximo (distância de até a raiz ) é no máximo metade da largura do intervalo:
Passo 4
Repara que a cada iteração b-a2^n+1 = 12,b-a2^n , logo o erro máximo também cai pela metade:
Ou seja, se antes o erro estava bounded por , agora é .
Resposta
Verdadeiro. O método da bissecção reduz o erro pela metade a cada nova iteração.