Suponha que f(x) é uma função real contínua em [a, b] com f(a) f(b)<0. Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
O método da bissecção irá reduzir o erro pela metade a cada nova iteração.

Passo 1

O enunciado diz: seja contínua em com . A pergunta é: “O método da bissecção reduz o erro pela metade a cada iteração?”
Conteúdo: método numérico de bissecção e análise de erro.
O que precisamos:
  1. Entender como a bissecção gera um novo intervalo em cada iteração.
  2. Ver como a largura desse intervalo se relaciona com o erro da aproximação.

Passo 2

Antes de tudo, lembra do Teorema do Valor Intermediário: se é contínua e muda de sinal em , então existe pelo menos uma raiz .
O método da bissecção faz assim:
  1. Calcula o ponto médio .
  2. Avalia .
  3. Se , a raiz está em ; senão, está em .
    Em cada iteração, a gente “corta” o intervalo original ao meio para manter o sinal trocado em uma das metades.

Passo 3

Agora, a parte do erro. Chama de Ln = bn - an = bn-1 - an-12 = Ln-12 e l|,cn - xir| <= Ln2 = b-a2^n+1 os extremos do intervalo na iteração .
  • Inicialmente, e , largura .
  • A cada iteração , a largura do novo intervalo é
Se a aproximação da raiz for o ponto médio , então o erro máximo (distância de até a raiz ) é no máximo metade da largura do intervalo:

Passo 4

Repara que a cada iteração b-a2^n+1 = 12,b-a2^n , logo o erro máximo também cai pela metade:
Ou seja, se antes o erro estava bounded por , agora é .

Resposta

Verdadeiro. O método da bissecção reduz o erro pela metade a cada nova iteração.

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