A=[rrrr -2 & -12 & 5 & -5 1 & -5 & -10 & 4 1 & 1 & 5 & -7 -10 & -4 & -4 & -1 ] e b=[r 4 5 -1 0 ]
(a) A matriz A satisfaz o Critério das Linhas para alguma permutação de linhas?
(b) A matriz A tem alguma permutação das linhas a qual satisfaz o Critério de Sassenfeld ? Qual? Justifique.
© Escreva as equações de recorrência do método de Gauss-Seidel e calcule uma iteração a partir de x^(0)= (0,-3,-5,-1).
(d) Quantas iterações são necessárias para que o erro seja menor que 10^-2 ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: temos a matriz
A= -2 & -12 & 5 & -5 1 & -5 & -10 & 4 1 & 1 & 5 & -7 -10 & -4 & -4 & -1 , b=45-10,
e queremos:
(a) Verificar se dá pra permutar linhas de e deixar ela estritamente diagonamente dominante por linhas (“Critério das Linhas”).
(b) Verificar se existe permutação que satisfaz o Critério de Sassenfeld e qual é.
© Escrever as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel e fazer uma rodada começando em .
(d) Estimar quantas iterações são necessárias pra o erro ficar menor que .
O conteúdo é métodos iterativos (dominância diagonal, Sassenfeld, Gauss–Seidel) e a gente vai explicar passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

(a) Critério das Linhas: uma matriz é estritamente diagonally dominante por linhas se, em cada linha |aii| > sumjneq i |aij| ,
|aii| > sumjneq i|aij|,
Testando nas linhas originais de , dá sempre menor que a soma das outras entradas em valor absoluto. E qualquer permutação de linhas só troca quem é linha 1, 2, 3 ou 4, mas cada linha individual não vai mudar os seus números. Como nenhuma linha sozinha satisfaz
não há jeitão de ordenar as linhas pra ter dominância estrita.

Passo 3

(b) Critério de Sassenfeld: a gente busca uma permutação de linhas de modo que, chamando a matriz permutada de betai = 1|a'ii|l(sumj=1^i-1|a'ij|betaj + sumj=i+1^n|a'ij|r), e definindo
(4,1,2,3)
tenha .
  1. Para escolhemos a linha 4 (original) como primeira.
    • O “diagonal” fica , ,
    • soma das off-diagonais é ,
    • .
  2. Para escolhemos a linha 1 (restante) como segunda.
    • , ,
    • .
  3. Para escolhemos a linha 2.
    • ,
    • .
  4. Para sobra a linha 3.
    • ,
    • .
Como todas , o critério de Sassenfeld vale para a permutação de linhas

Passo 4

© Método de Gauss–Seidel: escrevemos cada equação isolando x1^(k+1) =1-2l(4 +12x2^(k) -5x3^(k) +5x4^(k)r) =-6,x2^(k)+2,5,x3^(k)-2,5,x4^(k)-2 e, na iteração, usamos os valores mais recentes disponíveis.
  1. x2^(k+1) =1-5l(5 - x1^(k+1) +10x3^(k) -4x4^(k)r) =-1 +0,2,x1^(k+1) +2,x3^(k) -0,8,x4^(k) x3^(k+1) =15l(-1 - x1^(k+1) - x2^(k+1) +7x4^(k)r) =-0,2 -0,2,x1^(k+1) -0,2,x2^(k+1) +1,4,x4^(k)
  2. x4^(k+1) =-10,x1^(k+1) -4,x2^(k+1) -4,x3^(k+1) x1^(1)=-6cdot(-3)+2,5cdot(-5)-2,5cdot(-1)-2=6, x2^(1)=-1+0,2cdot6+2cdot(-5)-0,8cdot(-1)=-9, x3^(1)=-0,2-0,2cdot6-0,2cdot(-9)+1,4cdot(-1)=-1, x4^(1)=-10cdot6-4cdot(-9)-4cdot(-1)=-20
Agora fazemos a primeira iteração a partir de :
Logo .

Passo 5

(d) Para estimar o número de iterações até |x^(k)-x^*|infty ;<=;beta^k1-beta,|x^(1)-x^(0)|infty usamos o fato de que, com Sassenfeld beta^k1-beta,19 <10^-2 ;Longrightarrow; beta^k < 10^-2(1-beta)19approx8,8times10^-6 , vale
Aqui e .
Queremos
Tomando logaritmo, obtemos .

Resposta

(a) Não existe permutação que torne x1^(k+1)=-6,x2^(k)+2,5,x3^(k)-2,5,x4^(k)-2, x2^(k+1)=-1 +0,2,x1^(k+1) +2,x3^(k) -0,8,x4^(k), x3^(k+1)=-0,2 -0,2,x1^(k+1) -0,2,x2^(k+1) +1,4,x4^(k), x4^(k+1)=-10,x1^(k+1) -4,x2^(k+1) -4,x3^(k+1), estritamente diagonalmente dominante por linhas.
(b) Sim: a permutação de linhas satisfaz o critério de Sassenfeld ( ).
© As fórmulas de Gauss–Seidel são
e a primeira iteração dá .
(d) Aproximadamente 692 iterações são necessárias para garantir erro abaixo de .

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