Considere a função f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6 e o sistema linear abaixo:
x+y+z &=6 2 x-y+z &=3 x+2 y-z &=2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois probleminhas:
  1. Uma função polinomial cúbica f(x)=x^3-6x^2+11x-6
    2) Um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas
    $$ x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2 $$
    O conteúdo aqui é: fatorar polinômios (pra achar as raízes de ) e resolver sistemas lineares pelo método de eliminação (escalonamento).

Passo 2

Primeiro, vamos achar as raízes de f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). Como é um polinômio com coeficientes inteiros, a gente pode testar raízes inteiras dividindo o termo independente (−6) pelos coeficientes do termo líder (1). Então os candidatos são .
Teorema do Resto (ou Racional) diz que, se você dividir por , o resto é . Se der zero, é raiz.
Testando rapidinho:
  • . Então é raiz.
  • . Então também.
  • . Então também.
Como é grau 3 e já achamos 3 raízes distintas, concluímos que

Passo 3

Agora vamos pro sistema linear. A ideia é usar eliminação (escalonamento) pra reduzir as equações e isolar [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 2 & -1 & 1 & 3 1 & 2 & -1 & 2 ] , [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & -3 & -1 & -9 0 & 1 & -2 & -4 ] e [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 3 & 1 & 9 0 & 0 & 1 & 3 ] .
Escrevendo o sistema em forma de matriz aumentada:
  1. Quero zerar a coluna de nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
    • :
      .
    • :
      .
    Fica:
  2. Agora uso a nova pra zerar a coluna de em . Primeiro simplifico dividindo por :
    .
    Em seguida:
    :
    .
    Multiplicando essa terceira linha por pra facilitar:
    .
    Agora a matriz está triangular:
  3. A partir daí, já lemos . Substituímos em :
    E em :

Resposta

As raízes da função são f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) e x=1, y=2, z=3, de modo que

E a solução do sistema linear é
$

Exercícios relacionados