Beleza, o enunciado diz que temos dois probleminhas:
Uma função polinomial cúbica
2) Um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas
$$$$
O conteúdo aqui é: fatorar polinômios (pra achar as raízes de ) e resolver sistemas lineares pelo método de eliminação (escalonamento).
Passo 2
Primeiro, vamos achar as raízes de f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). Como é um polinômio com coeficientes inteiros, a gente pode testar raízes inteiras dividindo o termo independente (−6) pelos coeficientes do termo líder (1). Então os candidatos são .
Teorema do Resto (ou Racional) diz que, se você dividir por , o resto é . Se der zero, é raiz.
Testando rapidinho:
. Então é raiz.
. Então também.
. Então também.
Como é grau 3 e já achamos 3 raízes distintas, concluímos que
Passo 3
Agora vamos pro sistema linear. A ideia é usar eliminação (escalonamento) pra reduzir as equações e isolar [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 2 & -1 & 1 & 3 1 & 2 & -1 & 2 ] , [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & -3 & -1 & -9 0 & 1 & -2 & -4 ] e [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 3 & 1 & 9 0 & 0 & 1 & 3 ] .
Escrevendo o sistema em forma de matriz aumentada:
Quero zerar a coluna de nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
: .
: .
Fica:
Agora uso a nova pra zerar a coluna de em . Primeiro simplifico dividindo por : .
Em seguida: : .
Multiplicando essa terceira linha por pra facilitar: .
Agora a matriz está triangular:
A partir daí, já lemos . Substituímos em :
E em :
Resposta
As raízes da função são f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) e x=1, y=2, z=3, de modo que