Considere a função f(x)=e^-x^22.
Utilize a Regra de Simpson Repetida com 4 subintervalos para escrever uma equação da forma g(xi) que não envolva nenhuma integral e cuja a solução positiva xi é tal que
integral0^xi f(x) d x approx g(xi)

Passo 1

Beleza, resumo rápido do que a questão pede: a gente tem a função
f(x)=e^-tfracx^22
e quer usar a Regra de Simpson composta (com 4 subintervalos) pra aproximar
integral0^xif(x),dx
sem escrever integral nenhuma — só uma função .
Conteúdo: integração numérica, Regra de Simpson composta. Precisamos lembrar da fórmula do método e aplicá-la em dividida em 4 pedaços iguais.

Passo 2

Teoria da Regra de Simpson composta:
  • A ideia é aproximar integrala^bf(x),dx ;approx; h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+cdots+4f(xn-1)+f(xn)r], por peças de parábolas que passam por 3 pontos consecutivos.
  • Se dividirmos em subintervalos de mesmo tamanho , com par, então
onde .

Passo 3

No nosso caso h=xi-04=xi4, xi = i,h = i,xi4, i=0,1,2,3,4 , e . Logo

Passo 4

Aplicando Simpson composta com integral0^xi f(x),dx ;approx; h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+f(x4)r] :
h3 = xi/43 = xi12,
Como f(x0)=e^-(0)^2/2=1, f(x1)=e^-(xi/4)^2/2, f(x2)=e^-(xi/2)^2/2, e f(x3)=e^-(3xi/4)^2/2, f(x4)=e^-(xi)^2/2 , temos
e

Passo 5

Juntando tudo, a nossa aproximação vira uma função de g(xi) =xi12l[ 1 +4,e^-tfrac(xi/4)^22 +2,e^-tfrac(xi/2)^22 +4,e^-tfrac(3xi/4)^22 +e^-tfracxi^22 r] só, que chamamos de :
Aí a ideia é achar a solução positiva que faça
.

Resposta

g(xi) =xi12l[ 1 +4,e^-tfrac(xi/4)^22 +2,e^-tfrac(xi/2)^22 +4,e^-tfrac(3xi/4)^22 +e^-tfracxi^22 r]

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