Efetue quatro iterações dos método de Newton aplicado ao sistema de equações não-lineares e utilize eliminação de gauss com pivotação parcial: (x0=-1 e y0 =2.)
l -x^2+2 y^2=4 2 x^2-y=1
sk=xk+1-xk
J(xk) sk=-F(xk)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente resolver um sistema não-linear
-,x^2+2y^2=4, 2x^2-y=1
usando quatro iterações do método de Newton. Na prática isso significa:
  1. Saber montar o vetor de funções
    -x^2+2y^2-42x^2-y-1.
  2. Calcular a Jacobiana
    -2x & 4y4x & -1.
  3. Em cada iteração J(xk,yk),sk=-F(xk,yk) resolver
por eliminação de Gauss com pivotação parcial e então atualizar
.
Começamos com . A partir do próximo passo, mão na massa!

Passo 2

Primeira iteração ( F0= -(-1)^2+2cdot2^2-4 2cdot(-1)^2-2-1 = 3-1, J0 =-2(-1)&4cdot24(-1)&-1 =2&8-4&-1 )
  1. Avalia dxdy e 2&8-4&-1 dxdy = -31 em [cc|c -4&-1&1 2&8&-3 ] :

[
\mathbf{F}_0= R2 R2 - m,R1 ;Longrightarrow; [cc|c -4&-1&1 0&7.5&-2.5 ]

7.5,dy=-2.5implies dy=-tfrac13, -4,dx -1cdot dy=1implies dx=-tfrac16 ,
\quad
\mathbf{J}_0
=
= .
]
2) Monta o sistema
, ou
[

.
]
  1. Pivotação parcial na coluna 1: , então trocamos linha 1 e 2:
  1. Eliminação: o multiplicador é .
  1. Retro-substituição:
  1. Atualiza

Passo 3

Segunda iteração ( F1 = -(-1.1667)^2+2(1.6667)^2-4 2(-1.1667)^2-1.6667-1 approx 0.19444460.0555556, J1 approx 2.3333334&6.6666668-4.6666668&-1 )
  1. dyapprox-0.0360000, dxapprox0.0196200 .
  1. Sistema
    .
  2. Pivotação na coluna 1: , trocamos linhas.
  3. Eliminamos com .
  4. Resolvendo dá
  1. Atualiza

Passo 4

Terceira iteração ( F2approx0.0014190.002775, J2approx2.2940934&6.5226668-4.5881868&-1 )
  1. dxapprox0.000707, dyapprox-0.000466 .
  1. Monta e resolve com Gauss+pivotação (novamente após trocar linhas).
  2. A solução do sistema é
  1. Atualiza

Passo 5

Quarta iteração ( F3approx0.000953-0.001891, J3approx2.2926794&6.5208028-4.5853588&-1 )
  1. dxapprox-0.000412, dyapprox-0.000001 .
  1. Resolve o sistema por Gauss+pivot (de novo troca e ).
  2. Obtém
  1. Atualiza

Resposta

Após quatro iterações do método de Newton, o ponto aproximado é
(x4,y4)approx(-1.14675,;1.63020)

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