Considere a função
f(x)=asin(x)
Calcule a integral indefinida de f

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral indefinida de
Ou seja, queremos
Conteúdo envolvido: integração por partes (uma técnica pra integrar produto de funções) e substituição simples (pra resolver a parte que sobra). A gente vai precisar lembrar da derivada de e de como fazer substituição em integrais.

Passo 2

Pra começar, escolhemos usar integração por partes, que é baseada na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
A ideia é separar em u = asin(x), dv = dx e . Como é mais “difícil” de integrar, a gente escolhe:

Passo 3

Agora calculamos du = 1raiz1-x^2,dx e v = integral dx = x :
  • é a derivada de vezes . Como , temos
  • é a integral de . Como ,

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
Então sobrou calcular
integral asin(x),dx = u,v - integral v,du = x,asin(x) - integral xcdot1raiz1-x^2,dx

Passo 5

Para t = 1 - x^2 Longrightarrow dt = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,dt , usamos substituição. Seja
integral xraiz1-x^2,dx = integral x,dxraizt = integral -tfrac12,dtraizt = -tfrac12 integral t^-tfrac12,dt = -tfrac12 cdot 2,t^tfrac12 = -raizt = -raiz1 - x^2
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Passo 6

Voltando ao que tínhamos:
onde integral asin(x),dx = x,asin(x) - l(-raiz1-x^2r) = x,asin(x) + raiz1-x^2 + C, é a constante de integração.

Resposta

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