Considere a função
f(x)=asin(x)
Calcule o valor verdadeiro da integral para os limites de integração de 0 a raiz2 / 2. Sugestão: Substitua os limites de integração no resultado de (a).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente calcule
integral0^raiz22 arcsin(x),dx
Isso é integração de uma função composta (a função é ), e para resolver a gente vai usar a técnica de integração por partes. Precisamos lembrar:
  • a fórmula de integração por partes,
  • a derivada de ,
  • e como avaliar a primitiva nos limites dados.

Passo 2

Regra de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui a gente escolhe:
u = arcsin(x), dv = dx
Então calculamos
du = ddx[arcsin(x)],dx = 1raiz1-x^2,dx, v = integral dv = integral 1,dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral arcsin(x),dx = u,v - integral v,du = x,arcsin(x) - integral xcdot1raiz1-x^2,dx
Agora falta
t = 1 - x^2 ;Longrightarrow; dt = -2x,dx ;Longrightarrow; x,dx = -tfrac12,dt .
Fazemos uma substituição simples:
integral xraiz1-x^2,dx = integral xraizt,dx = integral -12,t^-tfrac12,dt = -12,cdot 2,t^tfrac12 + C = -raizt + C = -raiz1 - x^2 + C
Então
integral arcsin(x),dx = x,arcsin(x) - l(-raiz1-x^2r) + C = x,arcsin(x) + raiz1-x^2 + C
Logo a primitiva fica

Passo 4

Agora é só avaliar essa primitiva nos limites F(x) = x,arcsin(x) + raiz1-x^2 e F!l(tfracraiz22r) = raiz22,arcsin!l(tfracraiz22r) + raiz1 - tfrac12 = raiz22,cdotpi4 + raiztfrac12 = raiz2,pi8 + raiz22 .
A primitiva genérica é
F(0) = 0cdotarcsin(0) + raiz1-0 = 0 + 1 = 1
Avalia em integral0^raiz22 arcsin(x),dx = F!l(tfracraiz22r) - F(0) = l(raiz2,pi8 + raiz22r) - 1 :
Em :
Então a integral definida é

Resposta

boxed integral0^raiz22 arcsin(x),dx = raiz2,pi8 + raiz22 - 1

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