Calcule a raiz das funções abaixo. Use sempre 4 casas decimais.
f(x)=x e^-x / 3-0,5, para x0=0,5 e |f(x)|<0,02.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a raiz da função
f(x)=x,e^-x/3-0,5
usando Newton–Raphson, a partir de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e parar quando .
O conteúdo aqui é cálculo numérico: método de Newton. A gente vai precisar da fórmula de iteração
e da derivada .

Passo 2

Primeiro, monta a derivada.
f(x)=x,e^-x/3-0,5
Usando produto e cadeia:
f'(x) =ddxl(x,e^-x/3r) =e^-x/3 + xcdotl(-tfrac13 e^-x/3r) =e^-x/3l(1-tfracx3r)

Passo 3

Agora, itera a partir de f(0,5)=0,5,e^-0,5/3-0,5approx0,5cdot0,84648 -0,5=-0,07676, .
  1. Calcula f'(0,5)=e^-0,5/3l(1-tfrac0,53r) approx0,84648cdot0,83333=0,70540 e x1 = 0,5 - -0,076760,70540approx0,60884 :
  1. Aplica Newton:

Passo 4

Verifica f(0,60884)approx0,60884,e^-0,60884/3-0,5approx -0,00314, :
e . Parou.

Resposta

A raiz aproximada é
boxedxapprox0,6088

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