Considere a função f(x)=e^{-x^{2}}. Calcule \int_{0}^{1} f(x) d x aproximando f por uma função polinomial de grau 4.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar
\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx
usando um polinômio de grau 4 que aproxime f(x)=e^{-x^{2}}.
Conteúdo: vamos usar a série de Taylor (Maclaurin) de e^{u} centrada em u=0, com u=-x^{2}, e truncar até grau 4.

Passo 2

Desenvolvendo em série de Maclaurin para e^{u} temos
e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Tomando u=-x^{2} e truncando em n=2 (pois u^{2}=x^{4} já é grau 4), obtemos
P_{4}(x) =1 + \frac{(-x^{2})}{1!} + \frac{(-x^{2})^{2}}{2!} =1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2}.

Passo 3

Integramos P_{4}(x) de 0 a 1:
\int_{0}^{1}P_{4}(x)\,dx =\int_{0}^{1}\Bigl(1 - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{2}\Bigr)dx =\Bigl[x - \tfrac{x^{3}}{3} + \tfrac{x^{5}}{10}\Bigr]_{0}^{1} =1 - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{10}.

Passo 4

Calculando a soma de frações:
1 - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{10} =\tfrac{30}{30}-\tfrac{10}{30}+\tfrac{3}{30} =\tfrac{23}{30}\approx0,7667.

Resposta

\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx\approx\tfrac{23}{30}\approx0,7667.

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