Para as integrais a seguir, calcule uma aproximação pelas regras do Trapézio e 1 / 3 de Simpson, usando quatro divisões de a, b.
\int_{0}^{2} \exp (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{0}^{2} e^x\,dx
pelos métodos do Trapézio composto e de Simpson \tfrac{1}{3} composto com n=4 subintervalos. Vamos usar as fórmulas padrão de integração numérica e dividir o intervalo [0,2] em 4 partes iguais de comprimento h.

Passo 2

Calcular o passo h e os pontos x_i, depois avaliar f(x_i)=e^{x_i}.
h = \frac{2-0}{4} = 0,5.
Os pontos são
x_0=0,\; x_1=0,5,\; x_2=1,0,\; x_3=1,5,\; x_4=2,0.
As correspondentes funções valem
f(x_0)=e^0=1,\quad f(x_1)=e^{0,5}\approx1,6487,\quad f(x_2)=e^1\approx2,7183,
f(x_3)=e^{1,5}\approx4,4817,\quad f(x_4)=e^2\approx7,3891.

Passo 3

Aplicar a regra composta do Trapézio:
T = h\Biggl[\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2} + \sum_{i=1}^{3}f(x_i)\Biggr].
Substituindo os valores:
T = 0,5\Bigl[\tfrac{1+7,3891}{2} + (1,6487+2,7183+4,4817)\Bigr] =0,5\bigl[4,19455 + 8,8487\bigr] \approx6,5216.

Passo 4

Aplicar a regra composta de Simpson \tfrac{1}{3}:
S = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_4) + 4\bigl(f(x_1)+f(x_3)\bigr) + 2\,f(x_2)\Bigr].
Substituindo:
S = \frac{0,5}{3}\Bigl[1+7,3891 + 4(1,6487+4,4817) + 2\cdot2,7183\Bigr] = \frac{0,5}{3}\cdot38,3473 \approx6,3912.

Resposta

Regra do Trapézio composto: T\approx6,5216.
Regra de Simpson \tfrac{1}{3} composta: S\approx6,3912.

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