Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{rrr} -9 & 5 & 6 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 11 \\\\ 4 \\\\ -2 \end{array}\right]
a) Resolva o sistema dado usando o método de decomposição LU.
b) Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
A\,x = b,
onde
A = \begin{pmatrix} -9 & 5 & 6\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}11\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.
Na parte (a) vamos usar decomposição LU pelo método de Doolittle (L com uns na diagonal e U triangular superior) para resolver x. Na parte (b) queremos A^{-1} aplicando eliminação de Gauss–Jordan com pivotamento diagonal (usamos o elemento a_{ii} como pivô, que aqui nunca é zero).

Passo 2

Fazendo Doolittle, com pivô inicial a_{11}=-9, calculamos os multiplicadores
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{2}{-9} = -\tfrac{2}{9}, \quad \ell_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{-1}{-9} = \tfrac{1}{9}.
Atualizamos as linhas 2 e 3 para obter os elementos de U:
u_{22} = 3 - \bigl(-\tfrac{2}{9}\bigr)\cdot 5 = \tfrac{37}{9}, \quad u_{23} = 1 - \bigl(-\tfrac{2}{9}\bigr)\cdot 6 = \tfrac{7}{3},
u_{32} = 1 - \tfrac{1}{9}\cdot 5 = \tfrac{4}{9}, \quad u_{33} = -3 - \tfrac{1}{9}\cdot 6 = -\tfrac{11}{3}.
Até aqui
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{2}{9} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{9} & 1 & 1 \end{pmatrix}_{\!\text{parcial}}, \quad U = \begin{pmatrix} -9 & 5 & 6\\\\ 0 & \tfrac{37}{9} & \tfrac{7}{3}\\\\ 0 & \tfrac{4}{9} & -\tfrac{11}{3} \end{pmatrix}_{\!\text{parcial}}.

Passo 3

No segundo estágio usamos pivô u_{22}=\tfrac{37}{9} para calcular
\ell_{32} = \frac{u_{32}}{u_{22}} = \frac{4/9}{37/9} = \frac{4}{37},
e atualizamos
u_{33} \gets -\tfrac{11}{3} - \tfrac{4}{37}\cdot \tfrac{7}{3} = -\tfrac{145}{37}.
Assim a decomposição final é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{2}{9} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{9} & \tfrac{4}{37} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} -9 & 5 & 6\\\\ 0 & \tfrac{37}{9} & \tfrac{7}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{145}{37} \end{pmatrix}.

Passo 4

Resolvemos L\,y=b por substituição direta:
y_1 = 11, \quad y_2 = 4 - \Bigl(-\tfrac{2}{9}\Bigr)\,11 = \tfrac{58}{9}, \quad y_3 = -2 - \tfrac{1}{9}\,11 - \tfrac{4}{37}\,\tfrac{58}{9} = -\tfrac{145}{37}.
Em seguida U\,x=y
x_3 = \frac{y_3}{u_{33}} = \frac{-145/37}{-145/37} = 1, \quad x_2 = \frac{\tfrac{58}{9} - \tfrac{7}{3}\cdot1}{37/9} = 1, \quad x_1 = \frac{11 -5\cdot1 -6\cdot1}{-9} = 0.
Logo a solução é
(x_1,x_2,x_3) = (0,1,1).

Passo 5

Para calcular A^{-1} montamos a matriz aumentada [\;A\mid I\;] e aplicamos Gauss–Jordan com pivotamento diagonal. Em cada passo i normalizamos a linha i dividindo por a_{ii} e em seguida zeramos todos os outros elementos da coluna i subtraindo múltiplos apropriados da linha i. Os principais passos numéricos são:
  1. Dividir linha 1 por -9 e eliminar col 1 nas linhas 2 e 3.
  2. Dividir linha 2 pelo novo pivô \tfrac{37}{9} e eliminar col 2 nas linhas 1 e 3.
  3. Dividir linha 3 pelo pivô final -\tfrac{145}{37} e eliminar col 3 nas linhas 1 e 2.
    Ao final obtemos [\;I\mid A^{-1}\;].

Passo 6

Lendo a parte direita da forma reduzida [\;I\mid A^{-1}\;], obtemos
A^{-1} = \frac{1}{145} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -13\\\\ 5 & 33 & 21\\\\ 5 & 4 & -37 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1).
(b) A^{-1} = \frac{1}{145} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -13\\\\ 5 & 33 & 21\\\\ 5 & 4 & -37 \end{pmatrix}.

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