a) Resolva o sistema dado usando o método de decomposição LU.
b) Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal.
Na parte (a) vamos usar decomposição LU pelo método de Doolittle (L com uns na diagonal e U triangular superior) para resolver x. Na parte (b) queremos A^{-1} aplicando eliminação de Gauss–Jordan com pivotamento diagonal (usamos o elemento a_{ii} como pivô, que aqui nunca é zero).
Passo 2
Fazendo Doolittle, com pivô inicial a_{11}=-9, calculamos os multiplicadores
Para calcular A^{-1} montamos a matriz aumentada [\;A\mid I\;] e aplicamos Gauss–Jordan com pivotamento diagonal. Em cada passo i normalizamos a linha i dividindo por a_{ii} e em seguida zeramos todos os outros elementos da coluna i subtraindo múltiplos apropriados da linha i. Os principais passos numéricos são:
Dividir linha 1 por -9 e eliminar col 1 nas linhas 2 e 3.
Dividir linha 2 pelo novo pivô \tfrac{37}{9} e eliminar col 2 nas linhas 1 e 3.
Dividir linha 3 pelo pivô final -\tfrac{145}{37} e eliminar col 3 nas linhas 1 e 2.
Ao final obtemos [\;I\mid A^{-1}\;].
Passo 6
Lendo a parte direita da forma reduzida [\;I\mid A^{-1}\;], obtemos