Considere a função no intervalo . Use um polinômio de grau 2 para substituir a função no intervalo indicado. Considere os pontos amostrais e . Calcule o erro total no intervalo indicado.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a função em por um polinômio de grau 2 que interpola os pontos
e calcular o “erro total” no intervalo, ou seja, o máximo do erro de interpolação. Vamos usar o polinômio de Lagrange de grau 2 e a fórmula do resto de Lagrange para estimar .
Passo 2
Construímos o polinômio interpolador de Lagrange
com , , e . Os polinômios base são
Assim obtemos explicitamente , mas não precisamos da forma expandida para estimar o erro.
Passo 3
A fórmula do resto de Lagrange para grau 2 é
onde e depende de . Logo
Passo 4
Para achar o máximo de l|x(x-tfracpi4)(x-tfracpi2)r| em [0,pi/2] consideramos
Q(x)=x,(x-tfracpi4),(x-tfracpi2),
e resolvemos Q'(x)=0. Isso leva à equação quadrática
3x^2-tfrac3pi2x+tfracpi^28=0,
cuja solução relevante no intervalo é
x^*=(3-raiz3),pi12
Substituindo em Q(x) obtemos
l|Q(x^*)r| =pi^3raiz3288
Passo 5
Portanto o erro máximo de interpolação em [0,pi/2] satisfaz