Considere a função f(x)=cos (x) no intervalo [0, pi / 2]. Use um polinômio de grau 2 para substituir a função f(x) no intervalo indicado. Considere os pontos amostrais (0,1),(pi / 4, raiz2 / 2) e (pi / 2,0). Calcule o erro total no intervalo indicado.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função cos(x) em [0,pi/2] por um polinômio de grau 2 que interpola os pontos
(0,1),l(tfracpi4,tfracraiz22r),l(tfracpi2,0r)
e calcular o “erro total” no intervalo, ou seja, o máximo do erro de interpolação. Vamos usar o polinômio de Lagrange de grau 2 e a fórmula do resto de Lagrange para estimar maxxin[0,pi/2]|,cos(x)-P2(x)|.

Passo 2

Construímos o polinômio interpolador de Lagrange
P2(x)=sumi=0^2f(xi),Li(x),
com x0=0, x1=pi/4, x2=pi/2 e f(x)=cos(x). Os polinômios base são
L0(x)=(x-tfracpi4)(x-tfracpi2)(0-tfracpi4)(0-tfracpi2), L1(x)=x(x-tfracpi2)(tfracpi4-0)(tfracpi4-tfracpi2), L2(x)=x(x-tfracpi4)(tfracpi2-0)(tfracpi2-tfracpi4)
Assim obtemos explicitamente P2(x), mas não precisamos da forma expandida para estimar o erro.

Passo 3

A fórmula do resto de Lagrange para grau 2 é
R2(x)=cos(x)-P2(x) =f^(3)(xi)3!(x-0)(x-tfracpi4)(x-tfracpi2),
onde f^(3)(t)=sin(t) e xi depende de x. Logo
|R2(x)|<=16l|x,(x-tfracpi4),(x-tfracpi2)r| para todo xin[0,pi/2]

Passo 4

Para achar o máximo de l|x(x-tfracpi4)(x-tfracpi2)r| em [0,pi/2] consideramos
Q(x)=x,(x-tfracpi4),(x-tfracpi2),
e resolvemos Q'(x)=0. Isso leva à equação quadrática
3x^2-tfrac3pi2x+tfracpi^28=0,
cuja solução relevante no intervalo é
x^*=(3-raiz3),pi12
Substituindo em Q(x) obtemos
l|Q(x^*)r| =pi^3raiz3288

Passo 5

Portanto o erro máximo de interpolação em [0,pi/2] satisfaz
maxxin[0,pi/2]|R2(x)| <=16,pi^3raiz3288 =pi^3raiz31728 approx0,0311

Resposta

maxxin[0,pi/2]l|cos(x)-P2(x)r| <=pi^3raiz31728approx0,0311

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