Use a forma de Newton para interpolar um polinômio de grau 3 que passa pelos pontos da tabela abaixo:
-2 -1 1 2
-9 1 -3 -5

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache, pela forma de Newton, o polinômio de grau 3 que passa pelos pontos (-2,-9), (-1,1), (1,-3) e (2,-5).
O conteúdo é Interpolação Polinomial e vamos precisar montar as diferenças divididas e usar a fórmula de Newton:
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)

Passo 2

Calcular todas as diferenças divididas de primeira, segunda e terceira ordem:
f[x0]=-9, f[x1]=1, f[x2]=-3, f[x3]=-5
Primeiras diferenças:
f[x0,x1]=1-(-9)-1-(-2)=101=10, f[x1,x2]=-3-11-(-1)=-42=-2, f[x2,x3]=-5-(-3)2-1=-21=-2
Segundas diferenças:
f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]-f[x0,x1]1-(-2) =-2-103=-4, f[x1,x2,x3]=-2-(-2)2-(-1)=0
Terceira diferença:
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]2-(-2) =0-(-4)4=1

Passo 3

Agora montamos o polinômio na forma de Newton com x0=-2, x1=-1, x2=1, x3=2:
P(x)=-9 +10,(x+2) -4,(x+2)(x+1) +1,(x+2)(x+1)(x-1)

Passo 4

Se quisermos, podemos expandir para a forma padrão. Primeiro expandindo termo a termo:
-9+10(x+2)=10x+11,
-4(x+2)(x+1)=-4(x^2+3x+2)=-4x^2-12x-8,
(x+2)(x+1)(x-1)=x^3+2x^2 -x-2
Somando tudo:
P(x)=x^3-2x^2-3x+1

Resposta

boxedP(x)=-9+10(x+2)-4(x+2)(x+1)+(x+2)(x+1)(x-1)
ou, de forma expandida,
boxedP(x)=x^3-2x^2-3x+1

Exercícios relacionados