Considere a tabela:
-1 0 1 3
Seja o polinômio que interpola em e 3 pela forma de Newton. Imponha condições sobre e para que tenha grau 2 .

Passo 1

O enunciado fornece os pontos de interpolação
(x0,f(x0))=(-1,a), (x1,f(x1))=(0,b), (x2,f(x2))=(1,c), (x3,f(x3))=(3,d)
e pede para usar a forma de Newton para construir o polinômio p(x). Queremos que p(x) tenha grau 2, ou seja, que o coeficiente do termo cúbico na forma de Newton seja zero. Para isso, basta impor que a terceira diferença dividida seja nula.

Passo 2

Na forma de Newton com nós x0,x1,x2,x3 temos
p(x)=f[x0]+f[x0,x1],(x-x0)+f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
O polinômio será de grau 2 se, e somente se,
f[x0,x1,x2,x3]=0

Passo 3

Calculemos as primeiras diferenças divididas:
f[x0,x1]=b-a0-(-1)=b-a, f[x1,x2]=c-b1-0=c-b, f[x2,x3]=d-c3-1=d-c2

Passo 4

Agora as segundas diferenças divididas:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =(c-b)-(b-a)1-(-1) =c-2b+a2,
f[x1,x2,x3] =f[x2,x3]-f[x1,x2]x3-x1 =tfracd-c2-(c-b)3-0 =d-3c+2b6

Passo 5

Por fim, a terceira diferença dividida é
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3-x0 =d-3c+2b6-c-2b+a24 =d-6c+8b-3a24

Passo 6

Para que p(x) tenha grau 2, exigimos
f[x0,x1,x2,x3]=0 Longrightarrow d-6c+8b-3a24=0 Longrightarrow d-6c+8b-3a=0

Resposta

A condição necessária e suficiente é
d=6c-8b+3a

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