Considere o PVI
l y^prime=y y(0)=1
Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivesse sempre o mesmo sinal? Justifique!

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente olhar para o PVI
y' = y, y(0)=1,
e comparar uma solução numérica com a solução exata para ver se o erro “sempre” mantém o mesmo sinal.
Conteúdo: análise de erro em métodos de passo a passo (por exemplo, Euler explícito).
O que precisamos:
  1. conhecer a solução exata (aqui );
  2. saber como se define erro local e erro global num método de uma etapa (tipo Euler);
  3. ver o sinal do erro local e como isso “puxa” o erro global.

Passo 2

Vamos lembrar a solução exata:
y(t) = e^t
Em particular, yn+1 = yn + h,fl(tn,ynr) = yn + h,yn = (1+h),yn para todo En = yn - y(tn) .
Agora, no método de Euler explícito (supondo que seja esse o método estudado), a iteração é
Definimos o erro global no passo por

Passo 3

Para analisar o sinal do erro, olhamos primeiro o erro local y(tn+1) ;approx; y(tn) + h,y'(tn) = y(tn) + h,y(tn) .
Por definição, se a gente aplicasse Euler à solução exata y(tn+1) = y(tn) + h,y'(tn) + underbraceh^22y''(xin)>0 = y(tn) + h,y(tn) + h^22e^xin num único passo, teríamos
taun = l[y(tn)+h,y(tn)r] - y(tn+1) = -,h^22e^xin <0
Mas na verdade
Logo o erro local
Então, a cada passo o método “subestima” a verdadeira solução por causa desse .

Passo 4

Agora, por indução simples ou observando que o método é estável e consistente:
  1. no passo yn+1 = yn + h,yn = y(tn) + En + hl[y(tn)+Enr] = y(tn+1) ;+;underbracetaun<0 ;+;underbraceEn(1+h)<=0, , En+1 = yn+1-y(tn+1) = taun + En(1+h) <0 + 0 = 0 , então ;
  2. supondo , o próximo valor ou seja Assim, se , então .
    Portanto o erro global é sempre negativo: em todo passo o valor numérico fica abaixo da curva .

Resposta

Sim! no método de Euler explícito para esse PVI, o erro global é sempre negativo (mesmo sinal em todos os passos), porque o erro local é sempre menor que zero (já que ).

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