Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivesse sempre o mesmo sinal? Justifique!
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente olhar para o PVI
e comparar uma solução numérica com a solução exata para ver se o erro “sempre” mantém o mesmo sinal.
Conteúdo: análise de erro em métodos de passo a passo (por exemplo, Euler explícito).
O que precisamos:
conhecer a solução exata (aqui );
saber como se define erro local e erro global num método de uma etapa (tipo Euler);
ver o sinal do erro local e como isso “puxa” o erro global.
Passo 2
Vamos lembrar a solução exata:
Em particular, para todo .
Agora, no método de Euler explícito (supondo que seja esse o método estudado), a iteração é
Definimos o erro global no passo por
Passo 3
Para analisar o sinal do erro, olhamos primeiro o erro local.
Por definição, se a gente aplicasse Euler à solução exata num único passo, teríamos
Mas na verdade
Logo o erro local
Então, a cada passo o método “subestima” a verdadeira solução por causa desse .
Passo 4
Agora, por indução simples ou observando que o método é estável e consistente:
no passo yn+1 = yn + h,yn = y(tn) + En + hl[y(tn)+Enr] = y(tn+1) ;+;underbracetaun<0 ;+;underbraceEn(1+h)<=0, , En+1 = yn+1-y(tn+1) = taun + En(1+h) <0 + 0 = 0 , então ;
supondo , o próximo valorou sejaAssim, se , então .
Portanto o erro global é sempre negativo: em todo passo o valor numérico fica abaixo da curva .
Resposta
Sim! no método de Euler explícito para esse PVI, o erro global é sempre negativo (mesmo sinal em todos os passos), porque o erro local é sempre menor que zero (já que ).