Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4,6 e 6 , respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é
(A) \frac{1}{2}
(B) \frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado diz que os capitais de Antônio, Joaquim e José estão em partes proporcionais a 4:6:6. Chamando de k a “unidade proporcional”, seus capitais iniciais são
A_0 = 4k,\quad J_0 = 6k,\quad Z_0 = 6k.
Antônio quer comprar de cada um dos outros uma mesma fração x de seus capitais, de modo que, após a compra, os três tenham participações iguais.

Passo 2

Se Antônio comprar a fração x do capital de Joaquim, ele adquire
\text{de Joaquim: }6k\cdot x,
e igual quantia de José:
\text{de José: }6k\cdot x.é
Então, após a compra:
– Capital de Antônio:
A = 4k + 6k\,x + 6k\,x = 4k + 12k\,x.
– Capital de Joaquim:
J = 6k\,(1 - x).
– Capital de José:
Z = 6k\,(1 - x).

Passo 3

Para que as três participações fiquem iguais, devemos ter
A = J = Z.
Basta igualar A a J:
4k + 12k\,x = 6k\,(1 - x).
Divide-se tudo por k e desenvolve-se:
4 + 12x = 6 - 6x \quad\Longrightarrow\quad 12x + 6x = 6 - 4 \quad\Longrightarrow\quad 18x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}.

Resposta

A fração do capital de cada um dos outros sócios que Antônio deve adquirir é \displaystyle \frac{1}{9}.

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