Considere a função f(x)=x^-2 no intervalo x in[1,4].
Utilizando um polinômio de interpolação de grau máximo 3, determine uma aproximação para f(2,5).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar o valor de
f(2,5)onde f(x)=x^-2
no intervalo de 1 a 4, usando um polinômio de interpolação de grau 3.
Esse assunto é Interpolação Polinomial (método de Lagrange).
Pra resolver a gente vai precisar:
  1. Escolher 4 pontos (nós) em [1,4].
  2. Calcular nesses nós.
  3. Montar o polinômio de Lagrange de grau 3.
  4. Avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Primeiro escolhemos nós igualmente espaçados:
x0=1, x1=2, x2=3, x3=4
Agora calculamos os valores da função nesses pontos:
f(x0)=1^-2=1, f(x1)=2^-2=tfrac14, f(x2)=3^-2=tfrac19, f(x3)=4^-2=tfrac116

Passo 3

A ideia do método de Lagrange é construir
P3(x)=sumi=0^3 f(xi),Li(x),
onde cada base Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x-xjxi-xj é
Isso garante que em cada nó.

Passo 4

Vamos calcular P3(2.5) =sumi=0^3 f(xi),Li(2.5) =1cdot(-0.0625) +tfrac14cdot0.5625 +tfrac19cdot0.5625 +tfrac116cdot(-0.0625) rapidinho:
  • .
  • .
  • .
  • .
Agora montamos

Passo 5

Basta fazer as contas:
P3(2.5) =-0.0625 +0.140625 +0.0625 -0.00390625 approx0.13671875

Resposta

boxedP3(2.5)approx0.13671875

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