Achar uma reta p(x)=a x+b via mínimos quadrados linear para aproximar dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é equivalente a interpolar este pontos (via Lagrange ou Newton)? Justifique.

Passo 1

Então, a questão pede: “Será que ajustar uma reta por mínimos quadrados a dois pontos e é a mesma coisa que interpolar esses dois pontos (usando Lagrange ou Newton)?”
Conteúdo: mínimos quadrados linear e interpolação de polinômio de grau 1.
Vamos precisar saber
  1. Como formulamos o problema de mínimos quadrados (definir erro e montar as equações normais).
  2. Como funciona a interpolação polinomial (Lagrange ou Newton) para grau 1.

Passo 2

Teoria de mínimos quadrados linear:
  • A reta é S(a,b) ;=; r1^2 + r2^2 ;=;(y1 - (ax1+b))^2 + (y2 - (ax2+b))^2.
  • Em cada ponto partial Spartial a=0, partial Spartial b=0 o resíduo é .
  • Queremos escolher que minimizem
Para achar o mínimo, derivamos em relação a e a e igualamos a zero:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  1. ∂S/∂a:
partial Spartial a = -2l[x1(y1 - (ax1+b)) + x2(y2 - (ax2+b))r] = 0 ;;Longrightarrow;; x1(y1 - ax1 - b) + x2(y2 - ax2 - b) = 0
  1. ∂S/∂b:
partial Spartial b = -2l[(y1 - (ax1+b)) + (y2 - (ax2+b))r] = 0 ;;Longrightarrow;; (y1 - ax1 - b) + (y2 - ax2 - b) = 0
Isso vira o sistema linear em x1y1 + x2y2 ;-; a(x1^2 + x2^2);-; b(x1+x2) = 0, y1 + y2 ;-; a(x1+x2);-; 2b = 0 :

Passo 4

Como temos exatamente 2 equações para 2 incógnitas, se y1 - (ax1+b) = 0 e y2 - (ax2+b) = 0, existe solução única para .
Mas repare: podemos fazer S = 0 se escolhermos tais que
ou seja, é perfeitamente possível zerar os resíduos e fazer a reta passar pelos dois pontos. Logo o mínimo de é zero e coincide com a reta que interpola exatamente os pontos.

Passo 5

Teoria da interpolação (grau 1):
  • Forma de Lagrange:
p(x) = y1,x - x2x1 - x2 + y2,x - x1x2 - x1
  • Forma de Newton:
p(x) = y1 + y2 - y1x2 - x1,(x - x1)
As duas dão a mesma reta: coeficiente angular e intercepto ajustado.

Resposta

Sim! Para dois pontos a reta de mínimos quadrados passa exatamente por ambos (erro zero), então dá exatamente a mesma reta que a interpolação de grau 1 (Lagrange ou Newton).

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