Achar uma reta
via mínimos quadrados linear para aproximar dois pontos
e
é equivalente a interpolar este pontos (via Lagrange ou Newton)? Justifique.
Passo 1
Então, a questão pede: “Será que ajustar uma reta
por mínimos quadrados a dois pontos
e
é a mesma coisa que interpolar esses dois pontos (usando Lagrange ou Newton)?”
Conteúdo: mínimos quadrados linear e interpolação de polinômio de grau 1.
Vamos precisar saber
Conteúdo: mínimos quadrados linear e interpolação de polinômio de grau 1.
Vamos precisar saber
- Como formulamos o problema de mínimos quadrados (definir erro e montar as equações normais).
- Como funciona a interpolação polinomial (Lagrange ou Newton) para grau 1.
Passo 2
Teoria de mínimos quadrados linear:
- A reta é
. - Em cada ponto
o resíduo é . - Queremos escolher
que minimizem
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
e a
e igualamos a zero:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
- ∂S/∂a:
- ∂S/∂b:
Isso vira o sistema linear em
:
Passo 4
Como temos exatamente 2 equações para 2 incógnitas, se
existe solução única para
.
Mas repare: podemos fazer S = 0 se escolhermos tais que
Mas repare: podemos fazer S = 0 se escolhermos
ou seja, é perfeitamente possível zerar os resíduos e fazer a reta passar pelos dois pontos. Logo o mínimo de
é zero e coincide com a reta que interpola exatamente os pontos.
Passo 5
Teoria da interpolação (grau 1):
- Forma de Lagrange:
- Forma de Newton:
As duas dão a mesma reta: coeficiente angular
e intercepto
ajustado.
Resposta
Sim! Para dois pontos a reta de mínimos quadrados passa exatamente por ambos (erro zero), então dá exatamente a mesma reta que a interpolação de grau 1 (Lagrange ou Newton).