Considere a função
.
Calcule a ordem de convergência desse método (comparando a razão do erro absoluto a cada duas iterações). Determine uma estimativa para
baseada nos resultados das 3 últimas iterações.
Calcule a ordem de convergência desse método (comparando a razão do erro absoluto a cada duas iterações). Determine uma estimativa para
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
e está aplicando um método iterativo (por exemplo, o de Newton) pra achar a raiz de .
O que o enunciado pede é:
e está aplicando um método iterativo (por exemplo, o de Newton) pra achar a raiz de
O que o enunciado pede é:
- descobrir a ordem de convergência
do método, comparando como o erro decai de uma iteração pra outra; - dar uma estimativa numérica de
usando os três últimos erros que você obteve.
Matéria envolvida: métodos numéricos de raiz e conceito de ordem de convergência.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definir o erro em cada iteração,
, onde é a raiz exata. - Saber a relação teórica
. - Usar os últimos três erros pra estimar
.
Passo 2
Primeiro, o que significa “ordem de convergência”
?
Quando um método tem ordem , perto da raiz
vale
Quando um método tem ordem
onde
é constante.
Se , a convergência é linear; se
, é quadrática, e assim por diante.
Se
Passo 3
Para estimar numericamente
usando três iterações consecutivas, digamos
, calculamos os erros
e usamos a fórmula
Essa relação vem de igualar
e isolar
tomando logaritmo.
Passo 4
No caso do método de Newton para funções bem comportadas (derivada contínua, segunda derivada limitada perto da raiz), sabe-se teoricamente que
(é convergência quadrática).
Mas, se você calcular na prática os erros e aplicar a fórmula do Passo 3, deverá encontrar um valor bem próximo de 2.
Mas, se você calcular na prática os erros
Resposta
A ordem de convergência deste método (Newton) é
.
Usando os três últimos erros na fórmula
Usando os três últimos erros na fórmula
você vai obter uma estimativa numérica de
que estará em torno de 2.