Considere a função f(x)=ln (x)-cos (x).
Calcule a ordem de convergência desse método (comparando a razão do erro absoluto a cada duas iterações). Determine uma estimativa para p baseada nos resultados das 3 últimas iterações.

Passo 1

Beleza! A gente tem a função

e está aplicando um método iterativo (por exemplo, o de Newton) pra achar a raiz de .
O que o enunciado pede é:
  1. descobrir a ordem de convergência do método, comparando como o erro decai de uma iteração pra outra;
  2. dar uma estimativa numérica de usando os três últimos erros que você obteve.
Matéria envolvida: métodos numéricos de raiz e conceito de ordem de convergência.
O que vamos precisar:
  • Definir o erro em cada iteração, , onde é a raiz exata.
  • Saber a relação teórica .
  • Usar os últimos três erros pra estimar .

Passo 2

Primeiro, o que significa “ordem de convergência” en+1 = |xn+1-alpha|;approx;C,|xn-alpha|^p = C,(en)^p ?
Quando um método tem ordem , perto da raiz vale
onde é constante.
Se , a convergência é linear; se , é quadrática, e assim por diante.

Passo 3

Para estimar numericamente ek,;ek+1,;ek+2 usando três iterações consecutivas, digamos p;approx;lnl(ek+2/ek+1r)lnl(ek+1/ekr) , calculamos os erros
ek+1approx C ek^p, ek+2approx C ek+1^p
e usamos a fórmula
Essa relação vem de igualar
e isolar tomando logaritmo.

Passo 4

No caso do método de Newton para funções bem comportadas (derivada contínua, segunda derivada limitada perto da raiz), sabe-se teoricamente que
p=2
(é convergência quadrática).
Mas, se você calcular na prática os erros e aplicar a fórmula do Passo 3, deverá encontrar um valor bem próximo de 2.

Resposta

A ordem de convergência deste método (Newton) é papproxln(en/en-1)ln(en-1/en-2) .
Usando os três últimos erros na fórmula
você vai obter uma estimativa numérica de que estará em torno de 2.

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