Considere a função
;
Verifique que o método regula-falsi tem ordem de convergência melhor que o do método da bissecção e estime o valor de p relativo a esse método.
Verifique que o método regula-falsi tem ordem de convergência melhor que o do método da bissecção e estime o valor de p relativo a esse método.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão pede para a gente trabalhar com a função
, usar o método da regula-falsi (método da falsa posição) para aproximar uma raiz, mostrar que sua ordem de convergência é melhor que a da bissecção (que tem
) e estimar o valor de
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Método da regula-falsi e sua fórmula de iteração;
- Definição de ordem de convergência
e como estimá-la numericamente; - Cálculo de erros
e uso de .
Passo 2
Antes de tudo, vamos lembrar como funciona a regula-falsi:
Dado um intervalo com
, calculamos
Dado um intervalo
Depois avaliamos
. Se
, a raiz fica em
, então tomamos
Caso contrário, a raiz fica em
e escolhemos
Isso garante que sempre mantemos um “bracket” onde a raiz está.
Passo 3
- Identificamos uma raiz de
. Sabemos que , logo . - Escolhemos um intervalo que contenha
, por exemplo . De fato
- Agora iteramos:
n=0:
Como
, mantemos
e
.
n=1:
Repetindo até n=5, obtemos as aproximações e erros:
Passo 4
Definição de ordem de convergência
: se
então
Vamos usar
e
para ter duas estimativas:
Para
:
[
p_3
\approx
\frac{\ln(e_5/e_4)}{\ln(e_4/e_3)}
\frac{\ln(0.3435/0.5620)}{\ln(0.5620/0.8701)}
\approx
\frac{\ln(0.6113)}{\ln(0.6460)}
\approx
\frac{-0.493}{-0.437}
\approx1.13.
]
\approx
\frac{\ln(0.6113)}{\ln(0.6460)}
\approx
\frac{-0.493}{-0.437}
\approx1.13.
]
Para
:
e se repetíssemos a iteração até
, daria algo em torno de
.
Passo 5
A média dessas estimativas fica em torno de
Isso já é maior que
, que é a ordem da bissecção.
Resposta
O método regula-falsi aplicado em
para
tem ordem de convergência aproximada
que é melhor do que os
do método da bissecção.