Considere a função f(x)=x^3-3 x^2-6 x+8;
Verifique que o método regula-falsi tem ordem de convergência melhor que o do método da bissecção e estime o valor de p relativo a esse método.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede para a gente trabalhar com a função
, usar o método da regula-falsi (método da falsa posição) para aproximar uma raiz, mostrar que sua ordem de convergência é melhor que a da bissecção (que tem ) e estimar o valor de .
Conteúdo envolvido:
  • Método da regula-falsi e sua fórmula de iteração;
  • Definição de ordem de convergência e como estimá-la numericamente;
  • Cálculo de erros e uso de .

Passo 2

Antes de tudo, vamos lembrar como funciona a regula-falsi:
Dado um intervalo xn+1 =an,f(bn)-bn,f(an)f(bn)-f(an) ;=;bn;-;f(bn),bn-anf(bn)-f(an) com an+1=an, bn+1=xn+1 , calculamos
an+1=xn+1, bn+1=bn
Depois avaliamos . Se , a raiz fica em , então tomamos
Caso contrário, a raiz fica em e escolhemos
Isso garante que sempre mantemos um “bracket” onde a raiz está.

Passo 3

  1. Identificamos uma raiz de f(-4)=-80<0, f(0)=8>0 . Sabemos que x1 = -4cdot f(0) - 0cdot f(-4)f(0)-f(-4) = -4cdot 88 - (-80) = -3288 approx -0.363636 , logo x2 = -4cdot f(x1)-x1cdot f(-4)f(x1)-f(-4) approx -0.75863, .
  2. Escolhemos um intervalo que contenha c|c|c n & xn & en=|xn+2| hline 1 & -0.363636 & 1.636364 2 & -0.758630 & 1.241370 3 & -1.129920 & 0.870080 4 & -1.437960 & 0.562040 5 & -1.656500 & 0.343500 , por exemplo . De fato
  1. Agora iteramos:
n=0:
Como , mantemos e .
n=1:
.
Repetindo até n=5, obtemos as aproximações e erros:

Passo 4

Definição de ordem de convergência en+1approx C,en^p, : se
p approx ln(en+2/en+1) ln(en+1/en)
então
p3 approx ln(e5/e4)ln(e4/e3) = ln(0.3435/0.5620)ln(0.5620/0.8701) approx ln(0.6113)ln(0.6460) approx -0.493-0.437 approx1.13
Vamos usar p4 approx ln(e6/e5)ln(e5/e4), e para ter duas estimativas:

Para :
[
p_3
\approx
\frac{\ln(e_5/e_4)}{\ln(e_4/e_3)}

\frac{\ln(0.3435/0.5620)}{\ln(0.5620/0.8701)}
\approx
\frac{\ln(0.6113)}{\ln(0.6460)}
\approx
\frac{-0.493}{-0.437}
\approx1.13.
]
Para :
e se repetíssemos a iteração até , daria algo em torno de .

Passo 5

A média dessas estimativas fica em torno de
papprox1,1
Isso já é maior que , que é a ordem da bissecção.

Resposta

O método regula-falsi aplicado em boxedpapprox1,1, para tem ordem de convergência aproximada
que é melhor do que os do método da bissecção.

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