Considere a função
.
Determine uma função auxiliar
para a qual o método iterativo MPF
. , pode ser aplicado. Justifique pelo teorema de convergência deste método;
Determine uma função auxiliar
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
e queremos achar uma função auxiliar
tal que a iteração
converja para a raiz de
.
Matéria envolvida: método do ponto-fixo (MPF) e teorema da convergência de Banach (contração).
O que vamos precisar:
• Escolher um que satisfaça
.
• Mostrar que é diferenciável num intervalo que contenha a raiz e que
lá.
Matéria envolvida: método do ponto-fixo (MPF) e teorema da convergência de Banach (contração).
O que vamos precisar:
• Escolher um
• Mostrar que
Passo 2
Construção de
via relaxação (também chamado de método de iteração de Picard):
- Partimos de
- Definimos
onde é um parâmetro que vai ajustar a “velocidade” da iteração.
Passo 3
Cálculo de
e escolha de
:
- Primeiro, derivada de
: - Então
- Para garantir contração, precisamos de
num intervalo que contém a raiz (sabemos que a raiz está entre 1 e 2).
• Em, varia aproximadamente entre • Se escolhermos , então Logo em todo o intervalo.
Passo 4
Aplicação do teorema de convergência do MPF (Banach):
Seja contínua em
, diferenciável em
e satisfazendo
.
Então é uma contração em
e a iteração
Seja
Então
converge para o único ponto fixo
, que é a solução de
.
Resposta
Uma boa escolha é
pois no intervalo
temos
, garantindo convergência pelo teorema do ponto-fixo.