Considere a função f(x)=ln (x)-cos (x).
Determine uma função auxiliar g(x) para a qual o método iterativo MPF Xk+1=g(xk), k=0,1, . , pode ser aplicado. Justifique pelo teorema de convergência deste método;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=ln(x)-cos(x)
e queremos achar uma função auxiliar xk+1=g(xk) tal que a iteração
converja para a raiz de .
Matéria envolvida: método do ponto-fixo (MPF) e teorema da convergência de Banach (contração).
O que vamos precisar:
• Escolher um que satisfaça .
• Mostrar que é diferenciável num intervalo que contenha a raiz e que lá.

Passo 2

Construção de f(x)=0 Long<=ftrightarrow ln(x)-cos(x)=0 via relaxação (também chamado de método de iteração de Picard):
  1. Partimos de g(x)=x - lambda,f(x) =x - lambdal(ln(x)-cos(x)r),
  2. Definimos onde é um parâmetro que vai ajustar a “velocidade” da iteração.

Passo 3

Cálculo de f'(x)=ddxl[ln(x)-cos(x)r] =1x + sin(x) e escolha de g'(x)=1 - lambda,f'(x) =1 - lambdal(1x + sin(x)r) :
  1. Primeiro, derivada de min[1,2]l(tfrac1x+sin xr)approx1.409, max[1,2]l(tfrac1x+sin xr)approx1.842 : g'(x)=1 - tfrac12l(tfrac1x+sin xr) Longrightarrow g'(x)in[,1-tfrac12cdot1.842,;1-tfrac12cdot1.409,] approx[,0.079,;0.295,]
  2. Então
  3. Para garantir contração, precisamos de num intervalo que contém a raiz (sabemos que a raiz está entre 1 e 2).
    • Em , varia aproximadamente entre • Se escolhermos , então Logo em todo o intervalo.

Passo 4

Aplicação do teorema de convergência do MPF (Banach):
Seja xk+1=g(xk) contínua em , diferenciável em e satisfazendo .
Então é uma contração em e a iteração
converge para o único ponto fixo , que é a solução de .

Resposta

Uma boa escolha é
boxedg(x)=x - tfrac12l(ln(x)-cos(x)r),
pois no intervalo temos , garantindo convergência pelo teorema do ponto-fixo.

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