Para determinar a raiz quadrada de um número c >= 0, basta resolver a equação x^2-c=0. E possível determinar sua raiz quadrada usando a função de iteração varphi(x)=c / x? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: para achar a raiz quadrada de um número xn+1 = varphi(xn) com varphi(x) = cx , a gente resolve . A pergunta é se dá pra usar a iteração
para chegar em .
Conteúdo envolvido: ponto fixo e critério de convergência (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Vamos precisar:
  • Verificar os pontos fixos de .
  • Calcular e checar se num entorno do ponto fixo.
  • Entender o que acontece na prática com a sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos fixos de varphi(x) = x Longrightarrow cx = x Longrightarrow x^2 = c Longrightarrow x = pmraiz c . Por definição, ponto fixo satisfaz
Como queremos raiz quadrada positiva, o candidato é .

Passo 3

Agora, para usar o Teorema de Banach (que dá convergência se varphi(x) ;=; cx Longrightarrow varphi'(x) = -,cx^2 for contração), precisamos do derivada
varphi'l(raiz cr) = -,c(raiz c)^2 = -,cc = -1
No ponto isso vira

Passo 4

O Teorema de Banach exige que num intervalo ao redor do ponto fixo, garantindo que a iteração “puxa” para o ponto. Aqui, em , . Ou seja, não é contração. Sem contração, não temos garantia de convergência — e de fato, não acontece convergência na prática (a menos que você já comece exatamente em ).

Passo 5

Pra ver na unha o que rola, escolhe um chute x1 = cx0, x2 = cx1 = c,c/x0, = x0 :
Ou seja, a sequência oscila: . Nunca chega em (a não ser que ).

Resposta

Não dá para usar e obter convergência a , porque não é contração ( ) e a sequência resultante oscila sem convergir.

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