Para determinar a raiz quadrada de um número
, basta resolver a equação
. E possível determinar sua raiz quadrada usando a função de iteração
? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: para achar a raiz quadrada de um número
, a gente resolve
. A pergunta é se dá pra usar a iteração
para chegar em
.
Conteúdo envolvido: ponto fixo e critério de convergência (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Vamos precisar:
Conteúdo envolvido: ponto fixo e critério de convergência (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Vamos precisar:
- Verificar os pontos fixos de
. - Calcular
e checar se num entorno do ponto fixo. - Entender o que acontece na prática com a sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos fixos de
. Por definição, ponto fixo satisfaz
Como queremos raiz quadrada positiva, o candidato é
.
Passo 3
Agora, para usar o Teorema de Banach (que dá convergência se
for contração), precisamos do derivada
No ponto
isso vira
Passo 4
O Teorema de Banach exige que
num intervalo ao redor do ponto fixo, garantindo que a iteração “puxa” para o ponto. Aqui, em
,
. Ou seja, não é contração. Sem contração, não temos garantia de convergência — e de fato, não acontece convergência na prática (a menos que você já comece exatamente em
).
Passo 5
Pra ver na unha o que rola, escolhe um chute
:
Ou seja, a sequência oscila:
. Nunca chega em
(a não ser que
).
Resposta
Não dá para usar
e obter convergência a
, porque
não é contração (
) e a sequência resultante oscila sem convergir.