2. Considere a função \(f(x)=e^{6 x}+3(\ln 2)^{2} e^{2 x}-(\ln 8) e^{4 x}-(\ln 2)^{3}\). Utilize o método de Newton com \(p_{0}=0\) para obter uma aproximação de um zero de \(f\). Gere termos até que \(\left|p_{n+1}-p_{n}\right|<0,0002\). Obtenha a sequiência \(\Delta^{2}\) de Aitken \(\left\{\hat{p}_{n}\right\}\). Houve melhora na convergência?
2. Considere a função \(f(x)=e^{6 x}+3(\ln 2)^{2} e^{2 x}-(\ln 8) e^{4 x}-(\ln 2)^{3}\). Utilize o método de Newton com \(p_{0}=0\) para obter uma aproximação de um zero de \(f\). Gere termos até que \(\left|p_{n+1}-p_{n}\right|<0,0002\). Obtenha a sequiência \(\Delta^{2}\) de Aitken \(\left\{\hat{p}_{n}\right\}\). Houve melhora na convergência?Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton com
para aproximar um zero de
gerando termos até que
. Depois obter a sequência acelerada de Aitken
(fórmula
de Aitken) e verificar se houve melhora na convergência. Dados relevantes:
e tolerância
. Não se pede alteração do método de Newton, apenas aplicá-lo e depois usar Aitken.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar
para entender o problema e facilitar contas. Faço a substituição
(note que
). Então
Substituindo em
obtemos
Como
, isto fica
Repare que isto é exatamente a expansão de um cubo:
Logo os zeros de
ocorrem quando
, isto é
Portanto existe uma raiz real única e ela é de multiplicidade
.
Passo 3
Vou deduzir a fórmula do método de Newton de forma bem explícita (passo a passo): o método de Newton é
Como
, sua derivada é, pela regra da cadeia,
Agora simplifico a fração
:
Portanto a iteração simplifica muito:
ou, escrevendo de forma alternativa
Observe que a raiz tem multiplicidade 3: isso torna a convergência do método de Newton apenas linear (não quadrática), e por isso pode ser lenta — por isso faz sentido experimentar Aitken para acelerar.
Passo 4
Agora aplico numericamente a fórmula com
. Defino a constante
Iterarei usando
Cálculo do primeiro passo (
):
Diferença
.
Passo 5
Segundo passo (
):
Diferença
.
Passo 6
Terceiro passo (
):
Diferença
.
Passo 7
Quarto passo (
):
Diferença
.
Passo 8
Quinto passo (
):
Diferença
.
Passo 9
Sexto passo (
):
Diferença
.
Passo 10
Sétimo passo (
):
Diferença
.
Passo 11
Oitavo passo (
):
Diferença
.
Passo 12
Nono passo (
):
Diferença
.
Passo 13
Décimo passo (
):
Diferença
.
Passo 14
Décimo primeiro passo (
):
Diferença
.
Passo 15
Décimo segundo passo (
):
Diferença
.
Passo 16
Décimo terceiro passo (
):
Diferença
.
Passo 17
Décimo quarto passo (
):
Diferença
.
Passo 18
Décimo quinto passo (
):
Diferença
.
Passo 19
Décimo sexto passo (
), checando o critério:
Diferença
. Portanto o critério foi satisfeito em
(ou seja, obtivemos
como último termo exigido).
Passo 20
Agora construo a sequência acelerada de Aitken (fórmula
). Para uma sequência
define-se
e a estimativa acelerada é
(quando
). Usando os
calculados acima (valores aproximados), os primeiros termos acelerados ficam aproximadamente:
(Estes valores são obtidos usando a fórmula de Aitken aplicada aos pares/triplos
calculados nos passos anteriores; mostrei valores até
pois precisamos de três
's para formar
.)
Passo 21
Comparação da convergência: a raiz exata (feita pela análise algébrica) é
Erros típicos:
Ou seja, os termos acelerados por Aitken, já a partir de índices médios, ficam mais próximos da raiz do que os termos originais do método de Newton com o mesmo índice — a aceleração trouxe ganho (reduziu o erro). Isso era esperado porque Newton converge só linearmente aqui (raiz múltipla), e Aitken acelera sequências lineares.
Resposta
Newton (critério
):
Sequência de Aitken (valores aproximados):
Houve melhora na convergência? Sim.
Sequência de Aitken
Houve melhora na convergência? Sim.