1. Seja g(x)=^prime cos (x-1) e p0^(0)=2. Utilize o método de Steffensen para determinar p0^(1).

Passo 1

Resumo do enunciado: a função de iteração é
g(x) = cos(x - 1),
e o chute inicial é .
Conteúdo: estamos em Cálculo Numérico, usando o método de Steffensen, que é uma forma de acelerar a convergência de um método de ponto–fixo.
O que precisamos:
  1. Aplicar em para obter um valor intermediário.
  2. Aplicar de novo nesse resultado.
  3. Usar a fórmula de Steffensen (ou processo de Aitken) para calcular .

Passo 2

Teoria do método de Steffensen (Aitken acelerado):
Dado q = g(p), r = g(q) , definimos
pnovo = p - (q - p)^2,r - 2q + p,
A aproximação acelerada é
Aqui e .

Passo 3

Calcular q = g(2) = cos(2 - 1) = cos(1) approx 0,540302 :

Passo 4

Calcular r = g(0,540302) = cos(0,540302 - 1) = cos(-0,459698) = cos(0,459698) approx 0,895388 :

Passo 5

Aplicar a fórmula de Steffensen:
p0^(1) = 2 - (0,540302 - 2)^2,0,895388 - 2cdot0,540302 + 2,
Calculemos passo a passo:
  1. Numerador:
    p0^(1) = 2 - 2,13171,8148 approx 2 - 1,1751 = 0,8249
  2. Denominador:
  3. Assim

Resposta

p0^(1) approx 0,8249

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