Considere a função
.
Determine a região do plano onde
não é contínua. A função
é diferenciável nesta região? Justifique.
Determine a região do plano onde
Passo 1
Beleza, então o exercício é sobre a função de duas variáveis
O que pedem é: a) descobrir em que parte do plano essa função NÃO é contínua; b) ver se ela é diferenciável nessa mesma região, com justificativa.
Isso envolve dois conteúdos principais: domínio e continuidade de funções de várias variáveis (pra log a gente precisa do argumento maior que zero) e o fato de que, pra ser diferenciável num ponto, a função tem que ser contínua ali (além de existir derivadas parciais comportadas).
Passo 2
Vamos achar o domínio primeiro. Como é
, o que importa é
porque o log só existe pra argumento positivo. Então os pontos que funcionam são
-
-
Em notação:
Passo 3
Aí, a região onde
NÃO é contínua é justamente tudo que não está no domínio, ou seja
Isso inclui os eixos (
Passo 4
Agora: ela é diferenciável nessa região onde não é contínua?
Lembra que diferenciabilidade num ponto implica continuidade nesse ponto. Aqui, pra a gente nem tem função definida, logo nem tem continuidade, então também não dá pra ser diferenciável.
Em resumo, não é diferenciável em nenhum ponto de .
Lembra que diferenciabilidade num ponto implica continuidade nesse ponto. Aqui, pra
Em resumo, não é diferenciável em nenhum ponto de
Resposta
Região de não continuidade:
E não,
não é diferenciável nessa região, porque diferenciabilidade exige continuidade e
nem está definida ali.