Considere a função f(x, y)=ln (x y).
Determine a região do plano onde f não é contínua. A função f é diferenciável nesta região? Justifique.

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre a função de duas variáveis
f(x,y)=ln(xy),
O que pedem é: a) descobrir em que parte do plano essa função NÃO é contínua; b) ver se ela é diferenciável nessa mesma região, com justificativa.
Isso envolve dois conteúdos principais: domínio e continuidade de funções de várias variáveis (pra log a gente precisa do argumento maior que zero) e o fato de que, pra ser diferenciável num ponto, a função tem que ser contínua ali (além de existir derivadas parciais comportadas).

Passo 2

Vamos achar o domínio primeiro. Como é ln(xy), o que importa é
xy>0
porque o log só existe pra argumento positivo. Então os pontos que funcionam são
- x>0 e y>0 (1º quadrante), ou
- x<0 e y<0 (3º quadrante).
Em notação:
Dom(f)=(x,y)inR^2:xy>0

Passo 3

Aí, a região onde f NÃO é contínua é justamente tudo que não está no domínio, ou seja
(x,y)inR^2:xy<= 0
Isso inclui os eixos ( x=0 ou y=0) e os quadrantes II e IV, onde o produto xy é negativo ou zero. Se a função nem existe ali, não tem como ser contínua.

Passo 4

Agora: ela é diferenciável nessa região onde não é contínua?
Lembra que diferenciabilidade num ponto implica continuidade nesse ponto. Aqui, pra xy<=0 a gente nem tem função definida, logo nem tem continuidade, então também não dá pra ser diferenciável.
Em resumo, não é diferenciável em nenhum ponto de xy<=0.

Resposta

Região de não continuidade:
(x,y)inR^2:xy<=0
E não, f não é diferenciável nessa região, porque diferenciabilidade exige continuidade e f nem está definida ali.

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