Considere a função g(x, y)=2 x y.
Em que conjunto g é contínua?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Considere a função . Em que conjunto é contínua?”
A matéria aqui é continuidade de funções de duas variáveis.
Pra resolver, vamos usar o fato de que:
  • Funções “simples” como e são contínuas;
  • O produto de funções contínuas é contínuo;
  • Multiplicar por uma constante (nesse caso 2) também preserva continuidade.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função de duas variáveis lim(x,y)to(a,b) f(x,y) ;=; f(a,b) é contínua num ponto se
Agora, vamos ver passo a passo pra .

Passo 3

A função (que pega e devolve ) é contínua em todo .
Do mesmo jeito, a função (que pega e devolve ) é contínua em todo .

Passo 4

Como o produto de funções contínuas é contínuo, a função
(x,y);longmapsto; xcdot y
é contínua em todo .

Passo 5

Multiplicar uma função contínua por uma constante (aqui o 2) mantém tudo contínuo. Logo,
g(x,y)=2,(xcdot y)
é contínua em todo lugar onde faz sentido — ou seja, em todo .

Resposta

A função é contínua em todo o plano .

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