Utilize diferenciais para encontrar um valor aproximado para a expressão raiz3,99^2+4,01^2. Determine o erro relativo nesta aproximação.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar diferenciais (aproximação linear) pra estimar
raiz3,99^2 + 4,01^2
e depois calcular o erro relativo dessa aproximação.
Matéria: diferenciais de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar:
  1. Definir .
  2. Calcular as derivadas parciais e .
  3. Avaliar o diferencial em com e .
  4. Comparar com o valor “exato” (usando expansão em série) pra achar o erro relativo.

Passo 2

Primeiro, as derivadas parciais:
f(x,y)=raizx^2+y^2Longrightarrow fx=xraizx^2+y^2, fy=yraizx^2+y^2
No ponto fx(4,4)=44raiz2=1raiz2, fy(4,4)=44raiz2=1raiz2 temos , então

Passo 3

O diferencial total é
df = fx,dx + fy,dy = 1raiz2(-0.01) + 1raiz2(+0.01) = 0
Logo, a aproximação linear é
f(3.99,,4.01)approx f(4,4)+df = 4raiz2 + 0 = 4raiz2approx 5,656854

Passo 4

Agora, o valor “exato” é
raiz3.99^2+4.01^2 =raiz32,0002 =raiz32,raiz1+tfrac0.000232 =4raiz2,(1+tfrac0.000232)^1/2
Usando expansão raiz32,0002approx4raiz2l(1+tfrac6,25times10^-62r) =4raiz2l(1+3,125times10^-6r) com
4raiz2 + 4raiz2cdot3,125times10^-6 approx5,656854 + 0,00001768 =5,65687193 , vem
Então o valor exato é

Passo 5

Erro absoluto = 1,78times10^-55,65687193 approx3,15times10^-6 approx0,000315% .
Erro relativo =

Resposta

Aproximação: (isto é ).
Erro relativo: aproximadamente (ou ).

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