Considere a função
.
Determine a região do plano onde
é diferenciável. A função
é contínua nesta região? Justifique.
Determine a região do plano onde
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos a função
e pede pra identificar onde ela é diferenciável no plano e ainda perguntar se ela é contínua nessa região.
Conteúdo envolvido: domínio de função (pra log existe só se o argumento for positivo), diferenciabilidade (verificar se dá pra derivar em cada ponto) e continuidade (se é suave sem “buracos”). A gente vai usar que log é diferenciável onde está definido e que composição de funções diferenciáveis é diferenciável, e o mesmo pra continuidade.
Passo 2
Encontrar o domínio de
.
Pra fazer valer, o valor dentro do log tem de ser estritamente positivo:
Pra fazer
Quando produto de dois números é positivo? Ou os dois são positivos (quadrante 1) ou os dois são negativos (quadrante 3).
Logo o domínio é
Passo 3
Verificar diferenciabilidade.
Sabendo que é diferenciável para
e que a função
é diferenciável em todo lugar, então
é composição de diferenciáveis em cada ponto onde
.
Alternativamente, podemos calcular as derivadas parciais:
Sabendo que
Alternativamente, podemos calcular as derivadas parciais:
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac1{xy}\cdot y=\frac1x,\qquad
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac1{xy}\cdot x=\frac1y.$$
Essas derivadas existem e são contínuas em todo ponto onde e
com
. Logo
é diferenciável em
.
Essas derivadas existem e são contínuas em todo ponto onde
Passo 4
Verificar continuidade.
Função diferenciável implica função contínua na mesma região. Mais direto: é contínua para
e
é contínuo em
, então a composição
é contínua em todo ponto com
.
Função diferenciável implica função contínua na mesma região. Mais direto:
Resposta
A função
é diferenciável (e, consequentemente, contínua) na região
$