Considere a função f(x, y)=ln (x y).
Determine a região do plano onde f é diferenciável. A função f é contínua nesta região? Justifique.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos a função
f(x,y)=ln(xy)
e pede pra identificar onde ela é diferenciável no plano e ainda perguntar se ela é contínua nessa região.
Conteúdo envolvido: domínio de função (pra log existe só se o argumento for positivo), diferenciabilidade (verificar se dá pra derivar em cada ponto) e continuidade (se é suave sem “buracos”). A gente vai usar que log é diferenciável onde está definido e que composição de funções diferenciáveis é diferenciável, e o mesmo pra continuidade.

Passo 2

Encontrar o domínio de f.
Pra fazer ln(xy) valer, o valor dentro do log tem de ser estritamente positivo:
xy>0
Quando produto de dois números é positivo? Ou os dois são positivos (quadrante 1) ou os dois são negativos (quadrante 3).
Logo o domínio é
D=(x,y)in R^2:xy>0=x>0,y>0cupx<0,y<0

Passo 3

Verificar diferenciabilidade.
Sabendo que ln(u) é diferenciável para u>0 e que a função (x,y)mapsto xy é diferenciável em todo lugar, então f(x,y)=lnl((x,y)mapsto xyr) é composição de diferenciáveis em cada ponto onde xy>0.
Alternativamente, podemos calcular as derivadas parciais:
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac1{xy}\cdot y=\frac1x,\qquad
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac1{xy}\cdot x=\frac1y.$$
Essas derivadas existem e são contínuas em todo ponto onde fx=partialpartial xln(xy)=1xycdot y=1x, fy=partialpartial yln(xy)=1xycdot x=1y e xneq0 com yneq0. Logo xy>0 é diferenciável em f.

Passo 4

Verificar continuidade.
Função diferenciável implica função contínua na mesma região. Mais direto: ln(u) é contínua para u>0 e u=xy é contínuo em R^2, então a composição f(x,y)=ln(xy) é contínua em todo ponto com xy>0.

Resposta

A função f(x,y)=ln(xy) é diferenciável (e, consequentemente, contínua) na região
$

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