Considere a função g(x, y)=2 x y.
Encontre o conjunto onde g é diferenciável.

Passo 1

Beleza, aqui a questão é sobre diferenciabilidade de uma função de duas variáveis. A função é
g(x,y)=2xy,
O que a gente precisa saber?
- Conteúdo: diferenciabilidade em várias variáveis.
- Vamos usar: cálculo das derivadas parciais e o fato de que, se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto, a função é diferenciável ali.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é derivada parcial? É a derivada da função em relação a uma variável, mantendo a outra fixa. Então vamos calcular
partial gpartial x(x,y)epartial gpartial y(x,y)

Passo 3

Derivando em relação a partial gpartial x(x,y)=partialpartial x(2xy)=2y, tratando partial gpartial y(x,y)=partialpartial y(2xy)=2x como constante:

Derivando em relação a , tratando como constante:

Passo 4

Agora, note que essas duas funções, e , são polinômios em . Polinômios são funções contínuas em todo lugar. Logo, as duas derivadas parciais existem e são contínuas para qualquer .

Passo 5

Teorema importante: se uma função de duas variáveis tem derivadas parciais existentes e contínuas num ponto (ou num conjunto), então ela é diferenciável nesse ponto (ou nesse conjunto).
Como nossas parciais são contínuas em TODO , concluímos que é diferenciável em todo lugar.

Resposta

O conjunto onde é diferenciável é .

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