Considere a função
.
Encontre o conjunto onde
é diferenciável.
Encontre o conjunto onde
Passo 1
Beleza, aqui a questão é sobre diferenciabilidade de uma função de duas variáveis. A função é
O que a gente precisa saber?
- Conteúdo: diferenciabilidade em várias variáveis.
- Vamos usar: cálculo das derivadas parciais e o fato de que, se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto, a função é diferenciável ali.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é derivada parcial? É a derivada da função em relação a uma variável, mantendo a outra fixa. Então vamos calcular
Passo 3
Derivando em relação a
, tratando
como constante:
Derivando em relação a
Passo 4
Agora, note que essas duas funções,
e
, são polinômios em
. Polinômios são funções contínuas em todo lugar. Logo, as duas derivadas parciais existem e são contínuas para qualquer
.
Passo 5
Teorema importante: se uma função de duas variáveis tem derivadas parciais existentes e contínuas num ponto (ou num conjunto), então ela é diferenciável nesse ponto (ou nesse conjunto).
Como nossas parciais são contínuas em TODO
, concluímos que
é diferenciável em todo lugar.
Resposta
O conjunto onde
é diferenciável é
.