Considere o sistema linear abaixo:
c 8 x+y=-7 12 x-3 y=-15
O sistema pode ser reşolvido pelo método de Gauss-Seidel? Justifique!

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Considere o sistema
8x + y = -7, 12x - 3y = -15
Ele pergunta se dá pra usar o método de Gauss–Seidel e quer uma justificativa.
Conteúdo: métodos iterativos (especificamente Gauss–Seidel) e a condição de convergência (dominância diagonal).
Pra resolver, vamos montar a matriz do sistema, lembrar a definição de dominância diagonal linha a linha e checar se ela rola.

Passo 2

Teoria rápida: o Gauss–Seidel converge garantidamente se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante por linhas.
Isto é, para cada linha |aii| > sumjneq i |aij|, , vale
Se isso não acontece, não temos garantia automática de convergência.

Passo 3

Identifica a matriz A = 8 & 1 12 & -3 dos coeficientes:
|8| > |1|Longrightarrow 8 > 1;checkmark
Agora, checa linha a linha:
  • Linha 1: coeficiente diagonal é |-3| > |12|Longrightarrow 3 > 12;? . Soma dos módulos dos outros coeficientes é .
    Verificação:
  • Linha 2: coeficiente diagonal é . Soma dos módulos dos outros é .
    Verificação: Isso é falso, pois .

Passo 4

Como a segunda linha não satisfaz , a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Sem essa propriedade, o Gauss–Seidel não tem garantia de convergir.

Resposta

Não, não podemos garantir que o método de Gauss–Seidel resolva esse sistema, pois a matriz dos coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante (falhou na segunda linha).

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