Considere o sistema linear abaixo:
O sistema pode ser reşolvido pelo método de Gauss-Seidel? Justifique!
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Considere o sistema
Ele pergunta se dá pra usar o método de Gauss–Seidel e quer uma justificativa.
Conteúdo: métodos iterativos (especificamente Gauss–Seidel) e a condição de convergência (dominância diagonal).
Pra resolver, vamos montar a matriz do sistema, lembrar a definição de dominância diagonal linha a linha e checar se ela rola.
Conteúdo: métodos iterativos (especificamente Gauss–Seidel) e a condição de convergência (dominância diagonal).
Pra resolver, vamos montar a matriz do sistema, lembrar a definição de dominância diagonal linha a linha e checar se ela rola.
Passo 2
Teoria rápida: o Gauss–Seidel converge garantidamente se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante por linhas.
Isto é, para cada linha , vale
Isto é, para cada linha
Se isso não acontece, não temos garantia automática de convergência.
Passo 3
Identifica a matriz
dos coeficientes:
Agora, checa linha a linha:
- Linha 1: coeficiente diagonal é
. Soma dos módulos dos outros coeficientes é .
Verificação: - Linha 2: coeficiente diagonal é
. Soma dos módulos dos outros é .
Verificação:Isso é falso, pois .
Passo 4
Como a segunda linha não satisfaz
, a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Sem essa propriedade, o Gauss–Seidel não tem garantia de convergir.
Resposta
Não, não podemos garantir que o método de Gauss–Seidel resolva esse sistema, pois a matriz dos coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante (falhou na segunda linha).