Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
f(x, y, z)=x sen^2(y z)+y cos ^3(x z)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z) = x,sin^2(yz);+;y,cos^3(xz)
Conteúdo: derivadas parciais (uso de regra do produto e da cadeia).
O que precisamos:
  1. Regra do produto: .
  2. Regra da cadeia: .
  3. Derivadas básicas:
    • ,
    • ,
    • .

Passo 2

  1. Termo partialpartial xl(x,sin^2(yz)r) = 1cdotsin^2(yz) + xcdot 0 = sin^2(yz):
    • Trato como produto partialpartial xl(y,cos^3(xz)r) = 0 + yl[3,cos^2(xz),(-sin(xz)),zr] = -3,y,z,cos^2(xz),sin(xz) e fx = sin^2(yz);-;3,y,z,cos^2(xz),sin(xz) .
    • .
    • .
    • Mas porque não depende de .
      Então
  2. Termo :
    • Produto com e .
    • .
    • .
    • .
      Logo
Somando os dois:

Passo 3

  1. partialpartial yl(x,sin^2(yz)r) = x cdot 2,sin(yz),cos(yz),z = 2,x,z,sin(yz),cos(yz) :
    • partialpartial yl(y,cos^3(xz)r) = 1cdotcos^3(xz) + ycdot 0 = cos^3(xz) é constante em relação a fy = 2,x,z,sin(yz),cos(yz);+;cos^3(xz) .
    • Derivo :
      .
    • .
      Então
  2. :
    • Regra do produto:
      , .
    • .
    • (não depende de ).
      Então
Somando:

Passo 4

  1. partialpartial zl(x,sin^2(yz)r) = xcdot 2,sin(yz),cos(yz),y = 2,x,y,sin(yz),cos(yz) :
    • partialpartial zl(y,cos^3(xz)r) = 0 + yl[3,cos^2(xz),(-sin(xz)),xr] = -3,x,y,cos^2(xz),sin(xz) constante.
    • Derivo fz = 2,x,y,sin(yz),cos(yz);-;3,x,y,cos^2(xz),sin(xz) :
      .
    • .
  2. :
    • Produto , .
    • .
    • .
    • .
Somando:

Resposta

boxed fx(x,y,z)&=sin^2(yz);-;3,y,z,cos^2(xz),sin(xz), fy(x,y,z)&=2,x,z,sin(yz),cos(yz);+;cos^3(xz), fz(x,y,z)&=2,x,y,sin(yz),cos(yz);-;3,x,y,cos^2(xz),sin(xz)

Exercícios relacionados