Mostre que não existe
.
Passo 1
Beleza, vamos ao que interessa. A questão pede para mostrar que não existe
Isso é um problema de limite em duas variáveis. Para atacar, a ideia é “pegar um caminho” por onde
e ver que o valor dá problema (não converge). Aqui vamos usar:
- a identidade
, - expansão para
perto de zero.
Passo 2
Escolhe o caminho
. Aí, quando
,
então a função vira
Agora usamos a expansão
para
pequeno:
.
Logo
Logo
Então, para
,
Passo 3
Agora vemos o comportamento para
pelos dois lados:
- Se
, e . - Se
, e .
Ou seja, ao longo de
a expressão diverge de modos diferentes vindo da direita ou da esquerda.
Resposta
Não existe limite, porque ao longo da reta
o quociente tende a
se
e a
se
.