Mostre que não existe lim (x, y) (0,1) 1-cos (x^2-y^2+1)-xx^2.

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa. A questão pede para mostrar que não existe
lim(x,y)to(0,1) 1 - cosl(x^2 - y^2 + 1r) - xx^2
Isso é um problema de limite em duas variáveis. Para atacar, a ideia é “pegar um caminho” por onde e ver que o valor dá problema (não converge). Aqui vamos usar:
  1. a identidade ,
  2. expansão para perto de zero.

Passo 2

Escolhe o caminho x^2 - y^2 +1 = x^2 -1 +1 = x^2, . Aí, quando f(x,1) = 1 - cos(x^2) - xx^2 = 2sin^2l(tfracx^22r) - xx^2 ,
2sin^2!l(tfracx^22r) approx 2l(tfracx^22r)^2 = x^42
então a função vira
f(x,1) approx tfracx^42 - xx^2 = x^42x^2 ;-;xx^2 = x^22 ;-;1x
Agora usamos a expansão para pequeno:
.
Logo
Então, para ,

Passo 3

Agora vemos o comportamento para pelos dois lados:
  • Se , e .
  • Se , e .
Ou seja, ao longo de a expressão diverge de modos diferentes vindo da direita ou da esquerda.

Resposta

Não existe limite, porque ao longo da reta o quociente tende a se e a se .

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